¿Cómo demostrar la representación de Craig para la función de probabilidad gaussiana?

Question

El Función Q se define por : $$Q(x) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{x}^{\infty}\exp(-\frac{u^2}{2}) \ \mathrm{d}u \ \ (1).$$

Según el wiki hay una forma alternativa de la Función Q basado en John W. Craig que es más útil se expresa como: $$Q(x) =\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\exp\left(-\frac{x^2}{2\sin^2(\theta)}\right) \ \mathrm{d}\theta \ \ (2).$$

La prueba de Craig se basa en un enfoque probabilístico, por lo que busco uno analítico.
cualquier ayuda será apreciada.

Gracias.

Answer 1

Dado que ambas expresiones coinciden en $x=0$ basta con demostrar que sus derivadas coinciden en $x\geqslant0$ . Como la derivada de la primera expresión de $Q(x)$ es proporcional a $\mathrm e^{-x^2/2}$ Esto sucede si $R(x)$ es constante en $x\geqslant0$ , donde $$ R(x)=\mathrm e^{x^2/2}\int_0^{\pi/2}\frac{x}{\sin^2\theta}\mathrm e^{-x^2/(2\sin^2\theta)}\mathrm d\theta=\int_0^{\pi/2}\frac{x}{\sin^2\theta}\mathrm e^{-x^2\cot^2\theta/2}\mathrm d\theta. $$ El cambio de variables $v=x\cot\theta$ produce el rango $v\gt0$ y el jacobiano $\mathrm dv=x\mathrm d\theta/\sin^2\theta$ Por lo tanto $$ R(x)=\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-v^2/2}\mathrm dv, $$ que no depende de $x$ . QED.