Esto es correcto, y una idea de la diversión. He aquí por qué. Voy a hablar de lisa colectores de primera, pero es cierto que en todos los casos. Todos mis colectores tienen dimensión $n \geq 3$.
En primer lugar, necesitamos clasificar a $n$-dimensiones del vector de paquetes sobre el círculo. Hay exactamente dos: uno es trivial, la otra es no orientable, con un espacio total de homeomórficos a la (abierto) Mobius band veces el abierto de disco $D^n$. Esto es debido a que haces sobre el circulo se clasifican por $\pi_0 GL_n(\Bbb R) = \mathbb Z/2$; el trivial paquete es la Mobius línea de paquete, además de un montón de trivial de la línea de paquetes.
Dado un suave colector de $M$, $M$ es orientable si y sólo si cada incrustado círculo de $S^1 \hookrightarrow M$ ha trivial normal en paquete. (Si es orientable, porque el círculo es orientable, su normal paquete es orientable, por lo tanto trivial; por el contrario, si no orientable su orientación doble cubierta no es trivial, y por lo tanto hay algunos bucle que no se levante como un bucle a la doble cobertura. Este es el bucle deseado con trivial normal en paquete.) Ahora por la clasificación de la línea de paquetes anteriormente, podemos elegir un tubular de barrio y, a continuación, un disco está cerrado, lote en el barrio la incorporación de la "engrosamiento de la banda de Mobius".
La misma técnica funciona para topológico arbitrario colectores, como en la anterior equivalencia todavía funciona: un colector es orientable si y sólo si hay algún bucle en el colector de que no se levante a la orientación de la cubierta doble. Debido a que la dimensión es de al menos 3, puede homotope este bucle "a mano" para ser un local plano de la incrustación.
Lo que queremos hacer ahora es encontrar un disco está cerrado paquete alrededor de este bucle. Luego, por la clasificación de disco de paquetes (hay de nuevo, precisamente, dos, debido a que $\pi_0 \text{Diff}(D^n) = \Bbb Z/2$, y son lo que usted piensa), se tiene el resultado deseado.
El problema es que el disco paquetes son difíciles de encontrar. Me han dicho que por Observación 4 en este documento por Edwards que a medida que la dimensión de mi colector es de al menos 5, mi bucle como se ha construido de arriba tiene uno. No tengo una referencia precisa para usted. Podemos conseguir alrededor de este problema en pequeñas dimensiones: para $n = 3$ todos los colectores se smoothable, así que esto es encapsulado en el primer caso, y para $n=4$ es parte de Freedman del trabajo que noncompact 4-variedades son smoothable, así que pincha en un punto no en el bucle. Esto no destruir nonorientability.
Si hay una manera de evitar Freedman del resultado aquí que me gustaría saber.
