Dar un ejemplo de un infinito conjunto compacto $A$ de manera tal que su supremum no es un punto límite

Question

Tengo este en una prueba el otro día (sólo estamos trabajando en los reales). Mi solución fue

$$A=[0,1]\cup\{3\}$$

El intervalo cerrado tiene infinitos puntos, y $\sup A=3$ no es un límite de puntos, ya que cada barrio de $3$ contiene sólo el punto de $3$.

Yo estaba marcado mal, pero no puedo entender por qué. También quisiera saber si hay algún problema con mi destino ... es mi primera aquí. Gracias por el aporte.

Answer 1

Otro ejemplo es $$\{0\}\cup\biggl\{\frac1n: n\in\mathbb N\biggr\}$$ Tal vez se esperaba?

Answer 2

Como se ha dicho, su respuesta parece correcto, pero me pregunto qué pensaría si viera todo lo que escribió. Diga cada uno de los barrio de $3$ contiene sólo $3$, y eso está mal: Hay, de hecho, sólo uno abierto barrio de $3$ que contiene sólo ese punto, y de que barrio es $\{3\}$. El conjunto $(1/2 - 1/100,1/2)\cup\{3\}$ es otro abierto barrio de $3$, y no sólo contienen ese punto.