Cómo puede uno demostrar que $\sum_{k=1}^{\infty}\prod_{m=1}^{2k}\text{ctg}\frac{m\pi}{2k+1}=\frac{\pi}{4}-1$?

Question

Una pregunta de algunos rusos libro, acerca de las diferentes sumatorias una integrales, por Prudnikhov, Brichkhov y Marichev.

Página 746, 20, escribe:

$$ \sum_{k=1}^{\infty}\prod_{m=1}^{2k}\text{ctg}\frac{m\pi}{2k+1}=\frac{\pi}{4}-1 $$

Sin pruebas, en realidad, todo el libro es sin una sola prueba.

¿Cómo podría yo empezar demostrando que, lo que es producto de $\prod_{m=1}^{2k}\text{ctg}\frac{m\pi}{2k+1}$?

Gracias!

Answer 1

Creo que podemos demostrar que

$$\prod_{m=1}^{2k} \cot \frac{m\pi}{2k+1} = (-1)^k \frac{1}{2k+1}$$

El uso de Polinomios de Chebyshev $\displaystyle T_n(x)$ (de grado $\displaystyle n$, y el coeficiente inicial $\displaystyle 2^{n-1}$), los cuales satisfacen

$$T_{n}(\cos x) = \cos (n x)$$

y

$$T_{2n+1}(\sin x) = (-1)^k\sin ((2n+1) x)$$

Obtenemos el producto de las raíces de $\displaystyle T_{2k+1}(x) = -1$, para encontrar $\displaystyle \prod_{m=1}^{2k+1} (-1)^k\cos \frac{m\pi}{2k+1}$

(Tenga en cuenta que sus raíces se $\displaystyle \cos (\frac{(2r+1)\pi}{2k+1})$$\displaystyle -\cos (\frac{2r\pi}{2k+1})$)

lo que nos da $$\prod_{m=1}^{2k} \cos \frac{m\pi}{2k+1} = \frac{(-1)^k}{2^{2k}}$$

Para encontrar $\displaystyle \prod_{m=1}^{2k} \sin \frac{m\pi}{2k+1}$, necesitamos encontrar el producto de las raíces de $\displaystyle \frac{T_{2k+1}(x)}{x} = 0$.

Podemos demostrar que el coeficiente de $\displaystyle x$ $\displaystyle T_{2k+1}(x)$ $\displaystyle 2k+1$ y que nos daría

$$\prod_{m=1}^{2k} \sin\frac{m\pi}{2k+1} = \frac{2k+1}{2^{2k}}$$

Así

$$\prod_{m=1}^{2k} \cot\frac{m\pi}{2k+1} = \frac{(-1)^k}{2k+1}$$

Desde $$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1} = \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^2} \text{ dx} = \frac{\pi}{4}$$

hemos terminado.