Probar que un conjunto es completo

Question

Estoy trabajando en una pregunta y estoy buscando alguna aclaración. Parece que no puedo utilizar lo que sé para completar la prueba.

Dejemos que $\mathbf{x}_{0} \in \mathbb{R}^n$ y $R>0$ . Demostrar que $U=\left \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : \left \| \mathbf{x} - \mathbf{x_{0}} \right \| \leq R \right \}$ está completo.

Lo que sé:

1. $U$ es completa si toda secuencia de Cauchy de puntos en $U$ converge a un punto en $U$ .

2. Si $\mathbf{x}_k$ es una secuencia de Cauchy, entonces hay un número entero $N$ tal que $$||\mathbf{x}_k - \mathbf{x}_l|| < \epsilon$$ para todos $k,l \geq N$

3. $U$ es el conjunto de puntos $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$ tal que la distancia entre $\mathbf{x}$ y $\mathbf{x}_0$ es menor o igual que $R$ .

Una secuencia de Cauchy en $U$ se compondrá de puntos $\mathbf{x}_{k,1},\mathbf{x}_{k,1},...,\mathbf{x}_{k,n}$ tal que $|| \mathbf{x}_{k,1} - \mathbf{x}_{0}||$ , $|| \mathbf{x}_{k,2} - \mathbf{x}_{0}||,..., || \mathbf{x}_{k,n} - \mathbf{x}_{0}||$ $\leq R$ . Parece que si la secuencia está formada por puntos en $U$ entonces debe converger a un punto en $U$ . Se agradecerá cualquier ayuda y aclaración.

Answer 1

Si ya sabe que $\mathbb{R}^n$ está completo, como debe ser, entonces sólo usa que tu $U$ es cerrado, y un subconjunto cerrado de un espacio completo es completo: si $(x_n)$ es Cauchy en $U$ entonces es Cauchy en $\mathbb{R}^n$ (al ser Cauchy sólo depende de las distancias entre los puntos, no del conjunto en el que se encuentran) y por tanto converge en $\mathbb{R}^n$ a algunos $x$ . Pero como $U$ está cerrado y todos los $x_n$ están en $U$ Así es $U$ Así que $x_n \rightarrow x$ en $U$ también.

Answer 2

Utiliza los hechos de que un subconjunto cerrado de un espacio completo es completo, $\mathbb R^n$ es completa, y la bola cerrada es cerrada.

Answer 3

¿Puedes utilizar el hecho de que todo espacio métrico compacto es completo? Hace que la pregunta sea muy sencilla, ya que los compactos (en $\mathbb{R}^n$ ) significa cerrado+acotado.

Answer 4

No sé cómo de extensos son tus conocimientos sobre la compacidad, pero asumiendo que conoces algunos resultados básicos, puedes considerar la siguiente metodología. Está claro que $U$ es un conjunto acotado. Si se sabe demostrar que también es un conjunto cerrado, entonces se puede apelar al teorema de Heine-Borel para concluir que $U$ es un conjunto compacto. Entonces, utilizando el hecho de que los espacios compactos son completos, concluye la prueba.