¿Por qué es absolutamente erróneo anular las diferencias?

Question

En muchos de mis cursos de física, (¡no te preocupes, es una pregunta de matemáticas!) Mis profesores cancelan las diferencias, y cada vez, dicen: "Si un matemático me viera anulando estas diferencias se enfadaría, pero somos físicos, así que no hay problema en hacerlo". Sin embargo, aún así, no he visto una explicación aceptable de por qué esto está tan dramáticamente mal. ¡Agradecería si alguien pudiera explicarlo!

Answer 1

Los físicos pueden utilizar infinitesimales como en la siguiente derivación de la regla del producto:

$$\begin{align} f(x+dx)g(x+dx) &= \left(f(x)+ f^\prime(x)dx\right) \cdot \left(g(x)+g^\prime(x)dx\right) \\ &= f(x)g(x)+ f^\prime(x)g(x) dx + f(x)g^\prime(x) dx + f^\prime(x)g^\prime(x) \underbrace{dx^2}_{=0} \\ & = f(x)g(x)+ (f^\prime(x)g(x) + f(x)g^\prime(x)) dx \end{align}$$

El problema es: ¿Qué es $dx$ ? Aquí obtendrá normalmente la respuesta que $dx$ es un infinitesimal, es decir, un número que no es cero y cuya distancia al cero es menor que cualquier número racional $q\in\mathbb Q^+$ . Pero hay algunos problemas con esta explicación:

• $dx$ se utiliza principalmente como un número real ordinario. Se construyen fracciones como $\tfrac{dy}{dx}$ y calcula con esos objetos como si fueran fracciones reales. Pero si piensas en cómo $dx$ se utiliza, sería un número extraño. Cuando escribo $dx^2=0$ Yo uso $dx$ como si fuera cero. Uno el otro lado $dx$ puede ocurrir en el denominador de una fracción, lo que sólo se permite para $dx\neq 0$ . Así que a veces $dx$ se comporta como 0 y a veces como un número distinto de cero.
• Debido a la Propiedad arquimediana no hay ningún número real que satisfaga las propiedades de $dx$ . Así que si el sistema numérico que utiliza es $\mathbb R$ el objeto $dx$ no puede ser un número. Como la propiedad arquimediana es un axioma del análisis contemporáneo y esta teoría no tiene ningún otro concepto para los infinitesimales, no se puede utilizar $dx$ en el análisis actual.
• Normalmente nadie da una definición matemática rigurosa de $dx$ cuando se utiliza en un curso de física. Así que la pregunta sigue siendo: ¿Qué es $dx$ ?

Hoy en día existen teorías matemáticas para los infinitesimales: Por ejemplo, existe análisis no estándar donde el conjunto de los números reales se expande al conjunto de números hiperreales que contiene infinitesimales. En esta teoría se pueden hacer cálculos como en el ejemplo anterior. Así que es posible cancelar diferenciales, si uno cambia la teoría subyacente del análisis contemporáneo a algo como el análisis no estándar.

Mi opinión: No creo que haya realmente un problema. Normalmente los físicos tienen una buena intuición con los infinitesimales. Saben cómo utilizarlos y qué problemas pueden surgir y pueden trabajar eficazmente con ellos. De acuerdo, sería estupendo que más personas conocieran teorías como el análisis no estándar, pero en mi opinión, uno tiene que aprender primero la intuición de un concepto antes de poder estudiar su definición rigurosa. Por ejemplo, primero se calcula con los números reales en la escuela y se adquiere cierta intuición sobre ellos antes de ir a la universidad y aprender cuáles son los axiomas del sistema de números reales o cómo se pueden construir mediante cortes de Dedekind o secuencias de Cauchy.

Answer 2

Estoy de acuerdo con la respuesta aceptada: la notación diferencial es una herramienta muy útil para los cálculos, y en la mayoría de las situaciones en las que los físicos e ingenieros la utilizan, todo sale bien. Dicho esto, me gustaría señalar un caso en el que ser descuidado con la notación diferencial puede llevarnos a una aparente "prueba" de una afirmación falsa. He oído que esto se atribuye a Cauchy, aunque sospecho que esta atribución es una "leyenda urbana matemática".

Supongamos que $f_n$ es una secuencia de funciones continuas que converge a una función $f$ en $[0,1]$ . Nos preguntamos si $f$ debe ser continua. Escribimos

$$\begin{align} |f(x+dx)-f(x)| & =|f(x+dx)-f_n(x+dx)+f_n(x+dx)-f_n(x)+f_n(x)-f(x)| \\ & \leq |f(x+dx)-f_n(x+dx)|+|f_n(x+dx)-f_n(x)|+|f_n(x)-f(x)| \end{align}$$

Informalmente pensamos ahora en un tamaño infinito $n$ e infinitamente pequeño $dx$ . Entonces los tres términos deben ser infinitamente pequeños (el primero y el tercero por la convergencia y el segundo por la continuidad). Por lo tanto, el lado original debe ser infinitamente pequeño, y así $f$ debe ser continua.

Cuando formalizamos el argumento anterior, todo funciona siempre que $f_n$ convergen uniformemente. Pero si sólo convergen puntualmente, entonces esto falla: $f_n(x) = x^n$ converge para $x \neq 1$ a $0$ y para $x = 1$ a $1$ . Obsérvese que, a diferencia de la convergencia uniforme, la convergencia puntual puede formularse razonablemente sin desarrollar el marco axiomático del análisis: todo lo que necesitamos es una forma de hablar de convergencia de secuencias de números, y una noción de continuidad.

El problema en la argumentación cuando vamos a plantear el problema formalmente es que tenemos que elegir un único $n$ para controlar tanto el primer como el tercer término, y sólo después de hacerlo elegimos lo pequeño $dx$ debe ser controlar el segundo término. Pero eso significa que elegimos $n$ antes de haber elegido $dx$ y sin una convergencia uniforme podemos necesitar un $n$ para controlar el primer término de nuestro $dx$ .

¡Es difícil incluso describir este fenómeno en el lenguaje infinitesimal! Una forma de verlo es en el marco hiperreal: tomemos $N$ sea un número natural infinito y $dx=1/N$ . Entonces la parte estándar de $(1-dx)^N$ no es $1$ sino que $e^{-1}$ . Y ahora vemos el problema: los procesos límite $n \to \infty$ y $x \to 1^-$ compiten entre sí, uno tratando de arrastrar el resultado hacia $0$ y el otro tratando de tirar del resultado hacia $1$ . Este efecto se pierde cuando decimos ingenuamente que $n$ es infinito y $dx$ es infinitesimal sin decir cómo se comparan entre sí.

Answer 3

El ejemplo estándar es resolver $y' = y$ . Así que el físico escribiría $dy = ydx$ y por lo tanto $\frac{dy}{y} = dx$ entonces calcula las antiderivadas de ambos lados. Al físico no le importan las matemáticas, sino sólo si las manipulaciones conducen o no a una respuesta correcta. En efecto, divide por $y$ que podría ser cero, pero de nuevo no le importa.

Es un error porque lo que hace $dy$ y $dx$ ¿Incluso significa? Todavía no tengo ni idea de lo que significa, y a pesar de que la gente ha intentado explicar lo que significa en los últimos 10 años, nunca me he encontrado con ninguna explicación clara. Piensa que la magia de la notación te resuelve el problema, eso es todo.