Generadores de $GL_n(\Bbb Z)$ $GL_n(\Bbb Z_p)$

Question

Deje $\mathbb{Z}_p$ el valor del $p$-ádico enteros.

Sé que los grupos de $GL_n(\mathbb{Z})$ $GL_n(\mathbb{Z}_p)$ (topológicamente para el segundo) finitely generado. Mi pregunta es: ¿cuál será el mínimo número de generadores necesarios para generar cada uno de estos grupos (topológicamente para la segunda)?

Answer 1

En 1932/3 B. H. Neumann encontrado una presentación para el automorphism grupo de el grupo libre de rango $n$ en dos de los generadores de $n \ge 4$ y 3 generadores de $n=3$. Estos fueron la base de anteriores presentaciones en 4 generadores debido a Nielsen. Un adicional única relación da una presentación del cociente ${\rm GL}_n({\mathbb Z})$. Usted puede encontrar estos resultados en el libro sobre la Combinatoria del grupo de Teoría de Magnus, Karass y Solitar.

Así, por ${\rm GL}_n({\mathbb Z})$, la respuesta es 2 por $n \ge 4$ y en más de 3 $n=3$. Es bien sabido que ser 2 para $n=2$. Parece plausible que también es de 2 por $n=3$, y estoy seguro de que debe ser conocido. Me gustaría esperar resultados similares a ${\rm GL}_n({\mathbb Z_p})$.

Usted podría intentar preguntar esto en MathOverflow.