Es el anillo de funciones $C^{\infty}(M)$ noetherian?

Question

Deje $M$ ser suave, un colector y $C^{\infty}(M)$ ser su función anillo. Es este un noetherian anillo?

Answer 1

No, el anillo de $C^{\infty}(M)$ nunca noetherian si $\dim M\gt 0$.
De hecho consideran estrictamente a la disminución de la secuencia de subconjuntos cerrados $$M=C_0\supsetneq C_1 \supsetneq C_2 \supsetneq C_3\supsetneq \cdots$$ (Such a sequence is easy to construct: take the inverse image in a chart of closed concentric balls in $\mathbb R^n$.)
Un teorema de Whitney asegura que existe una función suave $f_j\in C^{\infty}(M)$ cuyo cero locus es, precisamente,$C_j$.
Ahora si se considera el ideal $I_j=Z(C_j)\subset C^{\infty}(M)$ de las funciones de cero en $C_j$ consigue una estrictamente creciente de la secuencia de los ideales de $C^{\infty}(M)$ la destrucción de todas las esperanzas de noetherianness para que el anillo de: $$I_0 \subsetneq I_1 \subsetneq I_2 \subsetneq I_3 \subsetneq \cdots \subsetneq C^{\infty}(M)\quad (f_{j+1}\in I_{j+1}\setminus I_j)$$

Answer 2

Creo que esto no es cierto en general.

Consideremos el anillo de $C^{\infty}(\mathbb{R})$ y el ideal de $I$ consta de las funciones lisas que se desvanecen en un barrio de $0$. Yo reclamo que $I$ no es finitely generado.

Supongamos por contradicción que $I=(f_{1},\ldots,f_{n})$, donde cada una de las $f_{i}$ se desvanece en un vecindario $V_{i}$$0$. A continuación, cada elemento de a $(f_{1},\ldots,f_{n})$ se desvanece en $V:=\cap_{i=1}^{n}V_{i}$. A pesar de que podemos construir suave funciones en $C^{\infty}(\mathbb{R})$ que se desvanecen en una arbitrariamente pequeño barrio de $0$, en particular estrictamente menor que $V$. Por lo $I\neq (f_{1},\ldots,f_{n})$. Por lo tanto $I$ no es finitely generado.