Una forma cerrada para $\int_0^\infty\left(\frac{2^{-x}-3^{-x}}x\right)^adx,\ a\noen\mathbb{Z}^+$

Question

Vamos $$I(a)=\int_0^\infty\left(\frac{2^{-x}-3^{-x}}x\right)^adx.$$ $I(a)$ ha cerrado el formulario de representaciones para todo $a\in\mathbb{Z}^+$.

• Es allí cualquier algebraicas (o al menos el período) $a\noen\mathbb{Z}^+$ tales que $I(a)$ tiene una forma cerrada de la representación?

• En particular, no $\displaystyle I\left(\frac12\right)=\int_0^\infty\sqrt{\frac{2^{-x}-3^{-x}\vphantom|}{x}}\, dx\ $ tiene una forma cerrada de la representación?

Answer 1

Para $a=1$, tenemos: $$ \int_{0}^{+\infty}\frac{2^{-x}-3^{-x}}{x}\,dx = \log\left(\frac{\log 3}{\log 2}\right)$$ por Frullani del teorema. Para $a=2$, podemos aplicar la integración por partes: $$ \int_{0}^{+\infty}\left(\frac{2^{-x}-3^{-x}}{x}\right)^2\,dx = 2\int_{0}^{+\infty}\frac{2^{-x}-3^{-x}}{x}(3^{-x}\registro de 3-2^{-x}\log 2)\,dx$$ así: $$ I(2)=2\left(\log 3\cdot\log\left(\frac{\log 9}{\log 6}\right)-\log 2\cdot\log\left(\frac{\log 6}{\log 4}\right)\right).$$ por Frullani del teorema de nuevo. Para dar una extensión de la técnica de no-entero $a$, sólo tenemos que hacer algunas fracciones de derivados/integrales. Al menos en teoría. Para $a=\frac{1}{2}$, sólo tenemos que calcular el semiderivative de $\frac{1}{\sqrt{x}}$ (fácil) y la semi-integral de $\sqrt{2^{-x}-3^{-x}}$ (duro).