Igualando las integrales de 1/(1-xy) 2/(1+xy) por elementales de cálculo?

Question

Las siguientes integrales (inspirado aquí) son iguales a $\pi^2/6$: $$\int_0^1\!\int_0^1 \frac{1}{1-x}\,dx\,dy = \int_0^1\!\int_0^1 \frac{2}{1+xy}\,dx\,dy.$$

De acuerdo a la conjetura 1 de Kontsevich y Zagier del artículo en períodos, debe ser posible pasar de uno al otro a través de otros las integrales de funciones algebraicas, utilizando únicamente las tres reglas de

• aditividad
• cambio de variables
• el método de Newton-Leibniz fórmula (un.k.una. el teorema fundamental del cálculo),

Lo que la secuencia de esas reglas, si las hubiere, de los rendimientos por encima de la identidad?

Answer 1

Es suficiente para establecer $x=u^2, y=v^2$ en la primera integral, a continuación, utilizando $$ \frac{4uv}{1-u^2 v^2} = 2\left(\frac{1}{1-uv}-\frac{1}{1+uv}\right).$$ Esto demuestra $$ \iint_{(0,1)^2}\frac{du\,dv}{1-uv} = \iint_{(0,1)^2}\frac{2\,du\,dv}{1+uv} $$ a través de primarias manipulaciones algebraicas.
Que es exactamente el mismo que probar $$ \zeta(2) = \sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2} = 2\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2} = 2\,\eta(2),$$ pero no requiere expandir $\frac{1}{1\pm uv}$ como una serie geométrica, a continuación, aplicar termwise integración.