Hay dos cosas distintas:
1) ¿Cómo pensamos acerca de los objetos matemáticos; y
2) ¿Cómo formalizar los objetos matemáticos dentro de la teoría de conjuntos.
Personas como Arquímedes, Eudoxus, Newton, Euler y Gauss hizo brillante matemáticas mucho antes de que el desarrollo de la teoría de conjuntos. Establecer claramente la teoría de la formalización no es un requisito previo de las matemáticas.
La formalización de los objetos matemáticos en el contexto de la teoría de conjuntos es relativamente reciente desarrollo histórico, que ha tenido lugar entre el decir finales del siglo xix y buena parte del xx. Durante ese período de tiempo los matemáticos encontrado una necesidad de más rigurosos fundamentos y teoría de conjuntos resultó ser muy útil para este propósito. No es necesariamente la última palabra sobre las fundaciones, ni tampoco nos pasan mucho tiempo al cuidado acerca de la formalización de la mayoría de las veces.
Por ejemplo, si estamos en clase de cálculo y nos encontramos con la función definida por $f(x) = x^2$, normalmente, pensamos en él como una máquina o caja negra que las entradas de un número real y salidas de la plaza de la entrada. Nadie piensa en ello como un conjunto de pares ordenados.
Por otro lado, si estamos aprendizaje de la geometría analítica por primera vez, dado $f(x) = x^2$ hacemos una tabla que contiene una muestra de algunas de pares $(x, x^2)$, luego graficamos los puntos en el $x$-$y$ plano, y vemos que los puntos parecen a la forma de una parábola. Cuando tenemos la gráfica de una función que estamos implícitamente el uso de la idea de una función como un conjunto de pares ordenados!
La mejor manera de pensar acerca de esto es que tenemos dos puntos de vista, la intuición y el formalismo. Vamos hacia atrás y adelante entre ellos según sea necesario. A veces una función es una máquina o de una asignación o una correspondencia, y a veces es un conjunto de pares ordenados. Cualquiera sea el punto de vista nos ayuda en cualquier momento dado.
Uno puede preguntar acerca de la naturaleza de la relación entre la idea intuitiva de una función (o cualquier otro objeto matemático) y el conjunto de la teoría de la simbología que representa o modelos de ese objeto. Esta es una cuestión de filosofía.
Tal vez las funciones y los números y conjuntos existen en algunos abstractos Platónico reino, y nuestros símbolos son representaciones exactas de ellos. O, tal vez, nuestros símbolos son útiles, pero inexactas declaraciones. O tal vez no hay funciones o números o conjuntos en todo, sólo cadenas de símbolos manipulados de acuerdo con las reglas formales. En ese último punto de vista, la matemática es un juego como el ajedrez. Nadie piensa que las leyes del universo está escrito en el ajedrez, pero muchas personas piensan que las leyes del universo está escrito en matemáticas. ¿Por qué son las reglas de la matemática, tan diferentes de las reglas de ajedrez?
Muchas personas inteligentes han pensado profundamente acerca de estas cuestiones. Pero cuando se piensa acerca de estas cosas que están haciendo filosofía, no de matemáticas.
La conclusión es que cuando hacemos matemáticas, utilizamos la intuición y el formalismo, lo que es más útil en cualquier momento dado. Y no pensamos acerca de la filosofía, a menos que estamos haciendo filosofía.
