La función de la satisfacción de $\lim_{x\to 0}\frac{f(ax)}{f(x)}=a$

Question

En esta respuesta http://math.stackexchange.com/a/2101475/72031 he demostrado que a veces podemos evitar el límite de $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x} {x} = 1\tag{1}$$ and instead use the simpler limit $$\lim_{x\to 0}\cos x=1\tag{2}$$ to evaluate many limits. Specifically we can use $(2)$ to show that $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin nx} {\sin x} =n\tag{3}$$ for all rational $n$. My contention is that the above limit can not be established for irrational values of $n$ just by using $(2)$ and it necessarily requires the use of $(1)$.

Basado en este pensamiento me plantean el siguiente problema:

Deje $f:\mathbb{R} \to\mathbb{R} $ se continua con $f(0)=0$ y $$\lim_{x\to 0}\frac{f(ax)}{f(x)}=a\tag{4}$$ for all non-zero real values of $un$. Does this imply that $f'(0)$ existe y es distinto de cero?

Creo que esto es falso, pero no pude encontrar una fácil contra-ejemplo. Así que ya sea una prueba o un contraejemplo es deseado.

Answer 1

Yo trate de un contra-ejemplo:

Deja que primero se $g(x)=\sqrt{|\log (|x|)|}$. Para cualquier $a$ no cero $g(ax)-g(x)\to 0$ si $x\to 0$, $x\not =0$. (Porque para $|x|$ pequeña $|\log |a|+\log |x||=-\log |x|-\log |a|$). Por lo tanto, si ponemos $f(x)=x\exp(g(x))$$x\not =0$, e $f(0)=0$, hemos terminado.

Answer 2

Sin embargo la respuesta anterior es correcta, esto le da una muy sencilla si $a $ sólo puede ser positivo, $f=|x|$ es también continua y el límite de la relación también es $a $ y la derivada no existe en 0