Demostrar que en un orden de campo $(1+x)^n \ge 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2}x^2$ $x \ge 0$

Question

En un orden de campo muestran que la $x \geq 0 \implies (1+x)^{n} \geq 1+nx+ \frac{1}{2}n(n-1)x^2$ para cada entero positivo $n$.

Sé que $(1+x)^{n} \geq 1+nx$ (la desigualdad de Bernoulli). Para obtener la más fuerte desigualdad usted probablemente puede utilizar la inducción también. Pero hay una forma más fácil? El plazo adicional de la derecha parece ser un "error" plazo y se ve como una expansión en series de Taylor.

Answer 1

Deje $f(x)=(1 + x)^n $$g(x)=1 + nx + \frac{1}{2}n(n - 1)x^2$. Desde $f(0)=g(0)=1$, es suficiente para mostrar que $f'(x) \geq g'(x)$, para cualquier $x \geq 0$, con el fin de obtener $f(x) \geq g(x)$. De hecho, $f'(x) = n(1 + x)^{n - 1}$$g'(x)=n + n(n - 1)x$, y así queda por mostrar que $(1+x)^{n-1} \geq 1 + (n-1)x$, el cual se le da.

Answer 2

Ya que sólo piden $x \geq 0$, entonces sólo tenga en cuenta que

$$ (1 + x)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2} x^2 + \cdots $$

Y supongo que usted puede imaginar el resto.

Answer 3

La siguiente es una inducción de la prueba, y la OP quería específicamente para evitar la inducción, por lo que no puede ser considerado como una respuesta. En realidad, la forma de una "lógica", punto de vista, la inducción es inevitable aquí.

Por supuesto, uno puede usar el "Teorema del Binomio." Sin embargo, el contexto aquí es diferente, estamos trabajando en una orden de campo. Resulta que, si uno de los detalles, que el estándar de la inducción de la prueba del Teorema del Binomio en el entorno familiar de los reales, o el de los números complejos, también pueden llevarse a cabo en el general ordenó la configuración de campo. Pero, en principio, uno debe hacer, y no simplemente la afirmación de que se puede hacer. Así que necesitamos un poco de información acerca de los coeficientes binomiales. No duro.

Así que ahora vamos a proceder a una inducción de la prueba de la desigualdad, en gran detalle. El resultado, obviamente, tiene al $n=1$. Queremos mostrar que si el resultado se da en $n=k$, entonces se mantiene en $n=k+1$. Por lo tanto sabemos que $$(1+x)^k \ge 1+kx + \frac{(k)(k-1)}{2}x^2 \qquad \text{(Inequality 1)}.$$

Queremos mostrar que

$$(1+x)^{k+1} \ge 1+(k+1)x + \frac{(k+1)(k)}{2}x^2.$$

Multiplicar ambos lados de la Desigualdad $1$ por la positiva objeto de $1+x$. Recordemos que en cualquier ordenó campo, si $a \ge b$, e $c$ es positivo,$ac \ge bc$.

Nos encontramos con que $$(1+x)^{k+1} \ge \left(1+kx + \frac{(k)(k-1)}{2}x^2\right)(1+x)\qquad \text{(Inequality $2$).}$$

Multiplicar el lado derecho, en la recopilación de poderes, y haciendo algunas pequeñas modificaciones. Obtenemos $$1+(k+1)x + \left(\frac{(k)(k-1)}{2} +k\right)x^2 + \frac{(k)(k-1)}{2}x^3.$$

Por último, tenga en cuenta que sencillo cálculo muestra que $(k)(k-1)/2 +k=(k+1)(k)/2$. También, el plazo$((k)(k-1)/2)x^3$$\ge 0$, por lo que llegamos a la conclusión de la Desigualdad $2$ que

$$(1+x)^{k+1} \ge 1+(k+1)x + \frac{(k+1)(k)}{2}x^2,$$ que es lo que queríamos demostrar.

Creo que la inducción argumento esencialmente escribe a sí mismo, y es en ese sentido simple.

Una confesión: a Pesar de que el nivel de detalle, hay una brecha en la prueba, de hecho varias lagunas del mismo tipo.

En la solución, casualmente simplificado $kx+x$$(k+1)x$. En principio, se debe justificar que. Cuando escribimos $kx$, no estamos (casi) haciendo la multiplicación en el campo. En principio, $kx$ significa, simplemente, $x$ añadido a sí mismo $k$ veces. Pero luego el resultado $kx+x=(k+1)x$ sigue inmediatamente. Un comentario similar se aplica en cualquier lugar en el cómputo donde ordinario enteros mezclarse con los elementos de campo, por ejemplo, cuando uno casualmente reemplaza$(kx)x$$kx^2$.

Los comentarios anteriores ejemplifican excesiva irritabilidad. Que debe tenerse en cuenta y, a continuación, uno debe ir de vuelta a los negocios como de costumbre.