p posibilidad de ganar el punto de tenis -> ¿qué f(p) posibilidad de ganar el juego?

Question

En Wii Tennis, he arreglado $\,\,p\,\,$ posibilidad de ganar un punto determinado.

Cuál es mi oportunidad $f(p)$ de ganar todo el juego?

Si $p=0.5, f(p)=0.5$ por simetría, pero creo que $f(0.51) > 0.51 $

EDIT: para aclarar, las reglas del Wii Tennis son las mismas que las del tenis normal.

EDIT: ¿sería útil aquí una cadena de Markov?

Answer 1

Supongamos que el tenis de Wii sigue las reglas del tenis - donde el juego va por puntos $0, 15, 30, 40$ y/o deuce, ventaja, y juego ganado. Permítame definir $q=1-p$ .

Después de la primera bola, la oportunidad es $p$ que diriges $15-\text{to}-0$ y $q$ para $0-15$ . Después de la 2ª, hay $p^2$ que es $30-0,\,\, 2pq$ que es $\,\,15-15, q^2$ para $0-30$ . Después de la 3ª, $p^3$ para $40-0, 3p^2q$ para $30-15, 3pq^2$ para $15-30$ y $q^3$ para $0-40$ . Después del 4º punto, las posibilidades son $p^4$ que ya has ganado, $4p^3q$ para el 40-15, $6p^2q^2$ para el 30-30, $4pq^3$ para el 15-40, $q^4$ ya has perdido.

Después del 5º punto (se sigue jugando aunque ya esté decidido), la probabilidad es $p^4+4p^4q$ que ya has ganado, $10p^3q^2$ para el 40-30, $10p^2q^3$ para 30-40, y $q^4+4pq^4$ que ya has perdido. Después del sexto punto, es $p^4+4p^4q+10p^4q^2$ que ya has ganado, $20p^3q^3$ que es deuce, y $q^4+4pq^4+10p^4q^2$ que ya has perdido.

A partir del dos, la probabilidad de que ganes es $$p^2 + 2p^3 q + 4p^4 q^2 + 8p^5 q^3+\dots = \frac{p^2 }{1-2pq} $$ Los coeficientes son potencias de dos porque se puede dividir el resto de la partida a las fluctuaciones lejos del deuce -a la ventaja de alguien y de vuelta (dos tipos para cada excursión)- y finalmente dos victorias del mismo jugador.

Así que su probabilidad total de ganar es $$f(p)=p^4+4p^4q+10p^4q^2 + \frac{p^2}{1-2pq}\times 20p^3q^3 = \frac{p^4(15-34 p +28 p^2-8p^3)}{1-2p+2p^2}$$ Como un cheque, $f(1/2)=1/2$ . También, $f(0.51) = 0.52498501$ . Es mayor que $0.51$ pero no mucho mayor. Probablemente se puede demostrar que, independientemente de las reglas detalladas del juego, si hay un juego compuesto por varios puntos, $f(p)$ será mayor que $p$ para $p>1/2$ .

La pendiente de la gráfica tipo tanh es de apenas 2,5 en el centro, pero la gráfica se vuelve casi horizontal para $p$ cerca de 0 o 1. Por ejemplo, $f(0.9)=0.9985522$ . Si ganas el 90% de las pelotas, ganas el 99,9% de los partidos. Cuando ambos deportistas tienen habilidades muy diferentes, casi no tiene sentido recordar la puntuación porque ganará el mejor jugador.