¿Alguien sabe de primaria de los problemas que pueden ser resueltos utilizando el p-adics? Se prefieren las soluciones.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?Uno puede usar $p$-ádico enteros para la pregunta de cuál de los números enteros positivos son la suma de tres cuadrados. Por ejemplo, $n=7$ no es una suma de tres cuadrados, sino $49=2^2+3^2+6^2$ es. La declaración es que $n$ es una suma de tres cuadrados si y sólo si $-n$ es un cuadrado en $\mathbb{Q}_2$, el campo de la $2$-ádico enteros. Este es el caso si y sólo si $n$ no es de la forma $4^{\ell}(8k+7)$ enteros no negativos $k,\ell$. (No es el Hasse-Minkowski teorema en el fondo, también). Un ejemplo de Hasse-Minkowski es el siguiente. $5x^2+7y^2-13z^2=0$ tiene un no-trivial solución real y un $p$-ádico uno para cada uno de los prime $p$. Por lo tanto Hasse-Minkowski da también un no-trivial solución racional, por ejemplo, tome $(x,y,z)=(3,1,2)$.