¿Qué valor esperado de la suma de dos discretas variables aleatorias decir?

Question

Estoy confundido con la suma de dos variables aleatorias. Supongamos $X$ $Y$ son dos variables aleatorias que denota cuánto se gana de cada uno de los dos juegos. Si los dos partidos se jugaron juntos, podemos ganar un $E[X] + E[Y]$ en total. Entiendo hasta aquí. Sin embargo, en muchos libros de texto, la ecuación de $E[X+Y]=E[X]+E[Y]$ es dada como una explicación a la expectativa de jugar dos juegos juntos. La explicación es más difícil que el resultado.

¿Qué $X+Y$ $E[X+Y]$ significa? Definimos $E[X]=\sum X_ip_i$. Así, definimos las $E[X+Y]=\sum (X_i+Y_i)p_i$ donde $p_i$ es el mismo para ambas variables aleatorias.

Lo que si $X$ denota los resultados equiprobables $1, 2, 3$ $Y$ denota los resultados equiprobables $1, 2, 3, 4, 5$?

Answer 1

Cuando usted está hablando de dos variables aleatorias, usted necesita pensar acerca de su distribución conjunta - de modo que, en lugar de hablar acerca de $P(X=i)$, es necesario hablar de $P(X=i\text{ and }Y=j)$, o, como se le suele escribir, $P(X=i,Y=j)$.

Si ayuda, pensar en él como al azar la elección de un vector con dos componentes, a continuación, llamar el primer componente $X$ y el segundo componente $Y$. Usted puede pensar de $X$ $Y$ como separado los resultados de dos experimentos - que pueden o no estar relacionados. Por eso, $X$ podría ser cuánto gana en la primera mano de poker, y $Y$ ¿cuánto ganas en el segundo. A continuación, $X+Y$ es cuánto se ha ganado en la primera de las dos manos juntas.

Con esto en mano, para una función de $f(x,y)$, podemos definir (para las variables que toman valores discretos), $$ \mathbb{E}[f(X,Y)]=\sum_{x,y}f(x,y)\cdot P(X=x, Y=Y). $$ Así que, en su caso particular, $$ \mathbb{E}[X+Y]=\sum_{x,y}(x+y)P(X=x,Y=Y)=\sum_{x,y}xP(X=x,Y=Y)+\sum_{x,y}y p(X=x,Y=Y). $$ Consideremos la primera de estas sumas. Nota $$ \sum_{x,y}xP(X=x,Y=Y)=\sum_{x}x\sum_{y}P(X=x,Y=Y). $$ El interior de la suma aquí es, precisamente,$P(X=x)$: el evento "$X=x$" es el mismo que el evento "$X=x$ $Y$ es de ningún valor", cuya probabilidad es exactamente esta suma. Así, $$ \sum_{x,y}xP(X=x,Y=Y)=\sum_{x}x\sum_{y}P(X=x,Y=Y)=\sum_{x}xP(X=x)=\mathbb{E}[X]. $$ Del mismo modo, $$ \sum_{x,y}y p(X=x,Y=Y)=\mathbb{E}[Y], $$ y la combinación de estas da la fórmula $$ \mathbb{E}[X+Y]=\mathbb{E}[X]+\mathbb{E}[Y]. $$

Answer 2

Buenas respuestas de @nrpeterson y @Lord_Farin.

Para una demostración práctica de considerar una evaluación imparcial y generador de números aleatorios $i \in 6$, más comúnmente conocida como dados.

Deje $X$ ser el resultado de lanzar esto dados de una vez (un evento), y $Y$ ser el resultado de una posterior tiro (otro independiente de eventos).

Si se considera el espacio muestral de cada uno de los eventos son los mismos y son:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Result} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \text{Probablity} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6}& \frac{1}{6}& \frac{1}{6}& \frac{1}{6}& \frac{1}{6} \\ \hline \end{array}$$

Como usted dice, $E[X]=\sum X_ip_i$, por lo que es fácil demostrar que $E(X)=E(Y)=3.5$. Por favor, tenga en cuenta que el valor esperado no es en realidad un resultado que se puede alcanzar; lo que no es infrecuente. Por lo que este significa que usted se está moviendo en la filosofía de las matemáticas como se discute aquí. Trivialmente $E(X)+E(Y)=7$

Entonces, ¿qué es $X+Y$? Claramente es un entero $\in [2,12]$, pero a diferencia de $X$ $Y$ no todos los resultados son igualmente probables. Considerar la distribución conjunta de $X+Y$:

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|} & X & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline Y \\ \hline 1 & & 2 & 3&4&5&6&7 \\ \hline 2&&3&4&5&6&7&8 \\ \hline 3&&4&5&6&7&8&9 \\ \hline 4&&5&6&7&8&9&10 \\ \hline 5&&6&7&8&9&10&11 \\ \hline 6&&7&8&9&10&11&12 \\ \hline \end{array}$$

Hay 36 posibilidades que dan lugar a las 11 resultados posibles, el más común de los cuales 7 con $p=\frac{1}{6}$ y la menos común es 2 y el 12 $p=\frac{1}{36}$. El valor esperado $E[X+Y]=\sum(X_i+Y_i)p_i$ se puede calcular y es 7, por lo $E[X+Y]=E[X]+E[Y]$.

Answer 3

Los tres $E$s son diferentes. Esto es debido a que pertenecen a diferentes espacios para eventos: $E[X]$ para el caso de espacio de $X$, $E[Y]$ para el caso de espacio de $Y$, e $E[X+Y]$ ... Sí, ¿para qué?

Como te has dado cuenta, no es inmediatamente obvio lo que el espacio para el evento debe ser. Al señalar que esta es la primera pregunta en las Matemáticas.SE, yo no te molestará con excesiva generalidades (si usted está interesado, Wikipedia no es un mal lugar para comenzar) y discutir sólo en el caso de que $X$ $Y$ son "independientes", en que "la información sobre $X$ no tiene influencia en la distribución de $Y$" (en el presente ejemplo, esto significa simplemente que lo que sucede en el juego 1 no influye en el resultado del juego 2 y viceversa).

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Por lo tanto, vamos a $X$ dispone de espacio para eventos, $\Omega_X$ (por lo $\Omega_X$ es el conjunto de todas las posibles $X_i$; seguimos matemático establecido personalizado y denotan elementos de $\Omega_X$$\omega_X$), y $Y$ dispone de espacio para eventos,$\Omega_Y$. En cualquier caso, ser capaces de discutir $X$$Y$, se debe incorporar la información sobre $\Omega$s; esto se puede hacer mejor al considerar el producto Cartesiano $\Omega_X \times \Omega_Y$ de tuplas $(\omega_X,\omega_Y)$$\omega_X \in \Omega_X$$\omega_Y \in \Omega_Y$. Por lo tanto es una gran colección de todas las posibles combinaciones de resultados de $X$$Y$.

Ahora queremos asignar una distribución de probabilidad a $\Omega_X \times \Omega_Y$, es decir, una asignación de $\Pr:\Omega_X\times\Omega_Y \to \Bbb R_{\ge 0}$ tal que $$\sum_{(\omega_X,\omega_Y)} \Pr(\omega_X,\omega_Y) = 1$$ Esta distribución de probabilidad (que se llama la distribución conjunta de $X$$Y$") regirán la variable aleatoria $(X,Y)$ (que consta de la pareja formada por las variables aleatorias $X$$Y$). Para distinguirla de las distribuciones de $X$$Y$, escribimos $\Pr_{(X,Y)}$ a partir de aquí.

En nuestro caso, donde $X$ $Y$ son independientes, ya que no esperamos que $\omega_Y$ a ser influenciado de alguna manera por $\omega_X$, y viceversa, proponemos que $\Pr_{(X,Y)}(\omega_X,\omega_Y)$ es de la forma $f(\omega_X)g(\omega_Y)$ $f,g$ adecuado de las funciones. En este caso, nos encontramos con que:

$$1 = \sum_{(\omega_X,\omega_Y)} {\Pr}_{(X,Y)}(\omega_X,\omega_Y) = \sum_{\omega_X} \sum_{\omega_Y} f(\omega_X)g(\omega_Y) = \left(\sum_{\omega_X} f(\omega_X)\right)\left(\sum_{\omega_Y} g(\omega_Y)\right)$$

Ahora hay, por supuesto funciones naturales $f,g$, de forma que ambas de estas sumas se $1$. Por ejemplo, tomamos $f(\omega_X) = \Pr_X(\omega_X)$ donde $\Pr_X$ es la función que lleva a $X_i$ $p_i$(que se ve más natural como $\Pr_X(X_i) = p_i$).

Entonces definimos:

$${\Pr}_{(X,Y)}(\omega_X,\omega_Y) = {\Pr}_X(\omega_X)\Pr{}_Y(\omega_Y)$$

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Usando la notación $\Pr_X$ presentó anteriormente, podemos ahora dar una buena definición de $E_X[f(X)]$ para cualquier variable aleatoria $X$ y la función $f$, es decir, por:

$$E_X[f(X)] := \sum_{\omega_X} f(\omega_X)\Pr{}_X(\omega_X)$$

Por ejemplo, si $f$ es la función identidad, a continuación, $E_X[f(X)]$ no es sino el familiar $E[X]$ (que se puede comprobar mediante la traducción de todos los símbolos de la notación original).

Ahora con esta notación, podemos hacer sentido de $E[X+Y]$$E_{(X,Y)}[X+Y]$, donde usamos la función suma de $+$ que se lleva a $(\omega_X,\omega_Y)$ $\omega_X+\omega_Y$(esto es sólo la adición de números reales).

Como un primer ejercicio, usted puede tratar de demostrar (!) que $E_{(X,Y)}[X+Y] = E_X[X]+E_Y[Y]$.

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Como usted puede ver, hay un poco de la maquinaria implícita detrás de la notación de la teoría de la probabilidad. Aunque usted puede encontrar el por encima de enormes proporciones, es mi experiencia personal, que uno no puede comprender plenamente lo que está pasando (más allá del nivel de "aplicar el truco", que es una mala manera de enseñar, porque no se cede ningún insight). Con la comprensión de los fundamentos, a continuación, puede progresar más difícil de los resultados u otras aplicaciones de la estadística sin tener que buscar la fórmula para calcular nada. :)