¿Por qué el grupo de cuaterniones generalizado $Q_n$ ¿no es un producto semidirecto?

Question

¿Por qué el grupo de cuaterniones generalizado $Q_n$ ¿no es un producto semidirecto?

Answer 1

¿Cuántos elementos de orden 2 tiene un grupo de 2 cuaterniones generalizado? ¿Cuántos elementos de orden 2 debe tener cada factor del producto semidirecto?

Nótese que los grupos dicíclicos (grupos de cuaterniones generalizados que no son grupos de 2) pueden ser productos semidirectos. El grupo dicíclico de orden 24 es un producto semidirecto de un grupo de cuaterniones de orden 8 que actúa sobre un grupo cíclico de orden 3.

Answer 2

Una caracterización del grupo de cuaterniones generalizado es:

• Si $G$ es un no-abeliano $p$ -que contiene un solo subgrupo de orden $p$ entonces $G$ es el grupo de cuaterniones generalizado [Teoría de grupos de Hall; Teorema 12.5.2] .

Así que si intentamos escribir el grupo de cuaterniones generalizado $Q_n$ como producto semidirecto, entonces deberíamos tener un subgrupo normal $N$ un subgrupo $H$ con la condición necesaria de que $N\cap H=1$ lo cual no es posible debido a la unicidad del subgrupo de orden $p$ ; estará contenida en todos los subgrupos de $Q_n$ . Por lo tanto, el grupo de cuaterniones generalizado no es un producto semidirecto de los más pequeños $p$ -grupos.