La comprensión de la descomposición de valor singular

Question

Por favor, ¿podría alguien ser tan amable y explicar exactamente lo que sucede cuando la Descomposición de Valor Singular se aplica en una matriz? ¿Qué son los valores singulares, a la izquierda singular, y a la derecha vectores singulares? Sé que son matrices de forma específica, sé cómo calcularlo, pero no puedo entender su significado.

Recientemente me han especie de ponerse a la altura de Álgebra Lineal y de la matriz de operaciones. Me encontré con algunas técnicas de la matriz de descomposición, en particular, la Descomposición de Valor Singular y tengo que admitir que estoy teniendo problemas para entender el significado de la enfermedad vesicular porcina.

He leído un poco acerca de autovalores y autovectores sólo porque yo estaba interesado en el PCA y me encontré con diagonalizing una matriz de covarianza que determina sus autovectores y autovalores (a ser las varianzas) hacia los vectores propios. Finalmente entendí pero SVD me da muy difícil.

gracias

Answer 1

Una interpretación geométrica de los valores singulares de una matriz es el siguiente. Supongamos $A$ $m\times n$ matriz (real valorados, por simplicidad). Piense en ello como una transformación lineal $\mathbb R^n \to \mathbb R^m$ en la forma habitual. Ahora tome la unidad de la esfera de $S$$\mathbb R^n$. Siendo una transformación lineal, $A$ mapas de $S$ a un elipsoide en $\mathbb R^m$. Las longitudes de los semi-ejes de este elipsoide son precisamente los no-cero valores singulares de a $A$. El cero valores singulares de decirnos cuál es la dimensión de la elipsoide va a ser: $n$ menos el número de cero valores singulares.

Answer 2

Tal vez ayuda a pensar en términos de transformaciones lineales en lugar de matrices. Supongamos $V$ $W$ son finito dimensionales producto interior espacios, por encima de $F$ (donde $F$ $\mathbb R$ o $\mathbb C$) y supongamos que $T:V \to W$ es una transformación lineal. Luego, según el teorema de la enfermedad vesicular porcina, existen bases ortonormales $\alpha$ $\beta$ (bases de $V$$W$, respectivamente) de forma tal que $[T]_{\alpha}^{\beta}$ es diagonal.

Trefethen explica una buena interpretación geométrica de la enfermedad vesicular porcina en su libro de Álgebra Lineal Numérica.