notación de diferenciación en geometría diferencial

Question

No puedo entender la notación en geometría diferencial, especialmente las versiones abundantes de diferenciación.

Peter Petersen: La Geometría Riemanniana define mucha notación para ser igual, pero no sé realmente cuándo se tiende a usar qué versión y cómo memorizar las definiciones y propiedades/identidades.

1. Derivada direccional o, de forma equivalente, la acción de un campo vectorial $X$ en una función ( $f:M\to\mathbb R$ ): $X\cdot f=D_Xf=df\cdot X\ $ , que también se denota como $L_Xf$

Esto está casi claro, excepto por el hecho de que la notación $D_Xf\ $ existe.

2. $grad(f)=\nabla f\ $ el gradiante de $f:M\to\mathbb R$

Tiene $\nabla$ ¿algo que ver con la conexión Levi-Civita?

3. Derivada de Lie de campos vectoriales: $L_XY:=[X,Y]= X\cdot Y - X\cdot Y\ $ donde la acción de un campo vectorial sobre otro viene dada por: $X\cdot Y:=D_XY\ $ la derivada direccional de $Y$ a lo largo de una curva integral del campo vectorial $X$ .

También está claro en su mayor parte.

4. La derivada covariante o conexión Levi-Civita $\nabla_XY$

Aquí mi entendimiento se detiene y mi cerebro empieza a gotear por mis orejas ¿Hay mnemotecnias u otras formas de entrar en todas esas formas de pensar en la diferenciación en los colectores. ¿Y por qué la mayoría de los libros utilizan coordenadas? $X=\sum_ia^i\partial_i$ para campos vectoriales, especialmente si el autor (ab)utiliza la convención de la suma de Einstein.

Answer 1

No es tan complicado. Hagamos las cosas de forma sistemática.

a) El caso del colector puro
En una variedad diferenciable $M$ un campo vectorial $X$ es el dato de un vector tangente que varía suavemente $X(m)\in T_mM$ en cada punto $m\in M$ .
Dada una función suave $f\in C^\infty(M)$ se obtiene una forma diferencial ${d}f$ que es una forma lineal $df(m)\in T^*_m(M)=(T_m(M))^*$ en cada $m\in M$ que varía suavemente con $m$ . Viene dado por la fórmula $(df(m))(v)=v(f)$ para $v\in T_m(M)$ .
La función suave $X(f)=L_X(f)=D_X(f)\in C^\infty(M)$ es entonces la función $M\to \mathbb R:m\mapsto (df(m))(X(m))$
Permítanme insistir en que esto no requiere ninguna estructura riemanniana.

b) El caso riemanniano
Si $M,g$ es una variedad riemanniana, cada espacio vectorial $T_x(M)$ tiene una estructura euclidiana, que nos permite asociar a cada forma lineal $\phi\in T_m^*(M)$ el vector $v\in T_m(M)$ tal que $g_x(v,w)=\phi (w)$ para todos $w\in T_m(M)$ .
Si $\phi=df(m)$ la correspondiente $v$ se denota por $grad(f)(m)$ .
Esto da lugar a la función requerida $grad(f)\in C^\infty(M).$

c) La derivada de Lie
Dados dos campos vectoriales $X,Y$ en $M$ se les puede asociar el siguiente mapa $$z:C^\infty(M)\to C^\infty(M): f\mapsto X(Y(f))-Y(X(f))$$ Un resultado fundamental es entonces que a este mapa le corresponde un único campo vectorial $Z$ tal que $z(f)=Z(f)$ para todos $f\in C^\infty(M)$ .
Entonces escribimos $Z=[X,Y]$ o $Z=L_X(Y)$
De nuevo, esto no requiere una estructura riemanniana en $M$ .

(Es mejor a estas alturas no mencionar las conexiones, que son datos suplementarios sobre los haces vectoriales, relacionados con los operadores diferenciales. Si quieres, puedes hacer otra pregunta sobre ellos).