secuencia de conjuntos compactos decrecientes

Question

En Royden 3rd P192,

Afirmación 1: Sea $K_n$ sea una secuencia decreciente de conjuntos compactos, es decir $K_{n+1} \subset K_n$ . Sea $O$ sea un conjunto abierto con $\bigcap_1^\infty K_n \subset O$ . Entonces $K_n \subset O$ para algunos $n$ .

Afirmación 2: A partir de esto, podemos ver fácilmente que $\bigcap_1^\infty K_n$ también es compacto.

Sé que esto es trivial si $K_1$ es $T_2$ (Hausdorff). Pero, ¿es cierto si asumimos sólo $T_0$ o $T_1$ ?

Cualquier contraejemplo es muy apreciado.

Answer 1

Consideremos los números naturales con la topología cofinita. Entonces esto es $T_1$ y todo subconjunto de $\mathbb N$ es compacto. En particular, el conjunto $K_n=\{ k \in \mathbb N \mid k \geq n\}$ es una secuencia decreciente de conjuntos compactos y su intersección es vacía. Así, por ejemplo, podemos tomar $O=\emptyset$ y tenemos nuestro contraejemplo deseado (editar) para la afirmación 1.

Answer 2

He aquí un espacio T_1 para el que falla la afirmación 2. Tomemos el conjunto de los números enteros. Digamos que un conjunto es abierto si es un subconjunto de los enteros negativos o si es cofinito. Entonces sea K_n el complemento de {0, 1, ..., n}. Entonces cada K_n es compacto, pero la intersección de K_n desde n=1 hasta el infinito es el conjunto de los enteros negativos, que es abierto y no compacto.