Inexistencia de un functor de $Group$ a $Set$ llevando cada grupo a su conjunto de automorfismo

Question

Estoy luchando con esta pregunta: demuestre que no existe un functor de $Group$ a $Set$ llevando cada grupo a su conjunto de automorfismos. He pensado en ello durante un tiempo, sin tener ninguna idea.

Hay un hilo sobre MSE mostrando la inexistencia de un functor que tome cada $\mathcal{G}$ en $Group$ a Aut( $\mathcal{G}$ ) en $Group$ que es relevante pero no es de ayuda.

Edición: Sé que para algún homomorfismo 1-1 $f:G\longrightarrow H$ existe un automorfismo $A$ en $G$ tal que hay más de un automorfismo $g_1$ y $g_2$ en $H$ para lo cual $g_1\circ f=g_2\circ f=f\circ A$ .

Por otro lado, para algún homomorfismo 1-1 $f:G\longrightarrow H$ existe un automorfismo $A$ en $G$ , tal que no hay ningún automorfismo $g$ en $H$ para lo cual $g\circ f=f\circ A$

Esto descarta una forma de definir el functor, pero no estoy seguro de cómo ayuda en el caso general.

Answer 1

He pensado en una forma de hacerlo, pero puede haber formas más fáciles. Deja que $\mathcal{F}$ sea un functor con las propiedades que describes.

Supongamos que tenemos grupos $G$ , $H$ con homomorfismos $\phi:G \to H$ y $\psi:H \to G$ con $\psi \phi = {\rm Id}_G$ . Entonces $\mathcal{F}(\psi\phi) = \mathcal{F}(\psi) \mathcal{F}(\phi)$ es el mapa de identidad en $\mathcal{F}(G)$ . Así que si podemos encontrar un ejemplo de este tipo con $|{\rm Aut}(H)| < |{\rm Aut(G)}|$ entonces esto no es posible, y tenemos una contradicción. Nótese que, en esta situación, $H = K \rtimes G$ con $K = \ker(\psi)$ .

Un ejemplo de ello es $G=C_2^n$ abelianos elementales de orden $2^n$ y $H = S_3^n$ . Entonces ${\rm Aut}(G) = {\rm GL}(n,2)$ y ${\rm Aut}(H) = S_3 \wr S_n$ . Tenemos $|{\rm Aut}(H)| < |{\rm Aut(G)}|$ para $n \ge 5$ .