Demuestra eso, $\lvert\mathbb P(A\cap B)-\mathbb P(A)\mathbb P(B)\rvert \le \dfrac{1}{4}$

Question

Si $(\Omega,\mathcal A,\mathbb P)$ es un espacio de probabilidad, demuestre que para $A,B\in\mathcal A$

$\lvert\mathbb P(A\cap B)-\mathbb P(A)\mathbb P(B)\rvert \le \dfrac{1}{4}$

Si $A, B$ son independientes entonces la desigualdad es correcta (el LHS es 0). Si no es así, ¿cómo podemos expresar esta dependencia?

Alcanza su máximo, si $\mathbb P(B)$ es 1?

Answer 1

Empieza con:

$x=P\left[A\cap B\right]$ , $y=P\left[A^{c}\cap B^{c}\right]$ , $a=P\left[A\cap B^{c}\right]$ y $b=P\left[A^{c}\cap B\right]$ donde $a,b,x,y\geq0$ y $a+b+x+y=1$ .

Entonces: $$\left|P\left(A\cap B\right)-P\left(A\right)P\left(B\right)\right|=\left|x-\left(a+x\right)\left(b+x\right)\right|=\left|xy-ab\right|\leq\max\{xy,ab\}$$

Aquí $xy\leq\frac{1}{4}$ como consecuencia de $x,y\geq 0$ y $x+y\leq 1$ . En estas condiciones $xy$ alcanza su máximo si $x=y=\frac{1}{2}$ . Asimismo, $ab\leq\frac{1}{4}$ y estamos listos.

Su máximo se alcanza si $P(A)=\frac{1}{2}$ y $A\in\{B,B^c\}$ .