La generación de la función de los números de Fibonacci

Question

Demostrar que $a$1+z+2z^2+3z^3+5z^4+8z^5+13z^6+...=\frac{1}{1-(z+z^2)}$$

Los coeficientes son los números de Fibonacci, es decir, la secuencia de $\left\{1,1,2,3,5,8,13,21,...\right\}$.

Answer 1

La prueba es muy simple. Vamos a escribir nuestra suma en un formato compacto:

$$1+z+2z^2+3z^3+5z^4+8z^5+... = \sum_{n=0}^\infty F_nz^n$$ Donde $F_n$ es el $$n ésimo número de Fibonacci, a partir de $F_0=F_1=1$ y $F_{n+2}=F_n+F_{n+1}$. Es desde aquí que vamos a demostrar de lo que necesita ser probada.

$$\begin{align} (1-z-z^2)\sum_{n=0}^\infty F_nz^n &= \sum_{n=0}^\infty F_nz^n - \sum_{n=0}^\infty F_nz^{n+1} - \sum_{n=0}^\infty F_nz^{n+2}\\ &= \sum_{n=0}^\infty F_nz^n - \sum_{n=1}^\infty F_{n-1}z^n-\sum_{n=2}^\infty F_{n-2}z^n\\ &= F_0 + (F_1-F_0)z + \sum_{n=2}^\infty (F_n-F_{n-1}-F_{n-2})z^n \end{align}$$ Ahora, $F_1=F_0$ y $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$. Por lo tanto,

$$(1-z-z^2)\sum_{n=0}^\infty F_nz^n = F_0 = 1$$ Y así

$$\sum_{n=0}^\infty F_nz^n = \frac{1}{1-(z+z^2)}$$

Answer 2

$\dfrac{1}{1-(z+z^2)}=1+(z+z^2)+(z+z^2)^2....$ El coeficiente de $z^n$ es, por tanto, el número de maneras de añadir 1s y 2s para obtener $n$. Además, el número de maneras de hacer esto es dado por los números de Fibonacci, lo que demuestra el resultado.

Answer 3

Una relacionada con la técnica. Lo que tiene es la ordinaria de la generación de la función de los números de Fibonacci. El uso de la recurrencia de la relación de los números de Fibonacci

$$F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n}$$

para obtener la generación de función. Vea aquí un problema relacionado.

Añadido: vamos a obtener el ordinario de generación de función. Deje que $g(z)=\sum_{n=0}^{\infty} F_n z^n$, $F_0=F_1=1$, entonces

$$\sum_{n=0}^{\infty} F_{n+2} z^n = \sum_{n=0}^{\infty} F_{n+1} z^n + \sum_{n=0}^{\infty} F_{n} z^n$$

$$\implica \sum_{n=2}^{\infty} F_{n} z^{n-2} = \sum_{n=1}^{\infty} F_{n} z^{n-1} + g(z)$$

$$\implica \frac{1}{z^2}\sum_{n=2}^{\infty} F_{n} z^{n} =\frac{1}{z} \sum_{n=1}^{\infty} F_{n} z^{n} + g(z)$$

$$\implica \frac{1}{z^2}\sum_{n=0}^{\infty} F_{n} z^{n}-\frac{F_0}{z^2}-\frac{F_1}{z}= \frac{1}{z}\sum_{n=0}^{\infty} F_{n} z^{n}-\frac{F_0}{z} + g(z)$$

$$\implica \frac{g(z)}{z^2}-\frac{1}{z^2}-\frac{1}{z} = \frac{1}{z}g(z)-\frac{1}{z} + g(z)$$

$$\implica que g(z) = \frac{1}{1-(z+z^2)}.$$

Answer 4

Desde Fibbonacci de la serie comienza en $0$ esta serie se llama a veces desplazado a la secuencia de Fibonacci $F_0=1,F_1=1,F_2=2,F_3=3,F_4=5,...$ $$F_n=F_{n-1}+F_{n-2},n\ge 2$$ Denotan por $$F(x)=\sum_{n=0}^{\infty}F_nx^n=1+x+\sum_{n=2}^{\infty}F_nx^n=1+x+\sum_{n=2}^{\infty}(F_{n-1}+F_{n-2})x^n=$$ $$=1+x+x\sum_{n=2}^{\infty}F_{n-1}x^{n-1}+x^2\sum_{n=2}^{\infty}F_{n-2}x^{n-2}=$$ $$=1+x+x(-1+F_0x^0+\sum_{n=2}^{\infty}F_{n-1}x^{n-1})+x^2\sum_{n=2}^{\infty}F_{n-2}x^{n-2}=$$ $$=1+x+x(-1+\sum_{n=1}^{\infty}F_{n-1}x^{n-1})+x^2\sum_{n=2}^{\infty}F_{n-2}x^{n-2}=$$ $$=1+x+x(-1+F(x))+x^2F(x)=1+xF(x)+x^2F(x)$$ o $$F(x)=1+xF(x)+x^2F(x)$$ la solución de esta ecuación obtenemos $$F(x)=\frac{1}{1-x-x^2}$$