Me doy cuenta de que es una pregunta muy vaga. He oído decir que A ∞ son la generalización homotópica correcta de las álgebras asociativas habituales, porque se pueden deformar. ¿Qué significa esto exactamente?
Esto tiene más o menos sentido -- si se "deforma" un álgebra asociativa, genéricamente va a dejar de ser asociativa, pero será "asociativa hasta la homotopía" exactamente en el sentido en que A ∞ las álgebras son.
En cuanto a la operada A-infinita, es lo que obtenemos si hacemos los movimientos "obvios" para introducir un álgebra homológica en operadas, y luego buscamos una operada dg libre cuasi-isomorfa a la operada asociativa. En ese sentido, la operada A-infinita no es más que la "resolución libre" de las álgebras asociativas, y por lo tanto un reemplazo homotópico equivalente sensato para la operada original.
(reposting ya que algo se ha estropeado con mi cuenta y mi login)
Bueno, aquí está mi tiro: (si quieres, salta al final del artículo)
Tomemos un álgebra asociativa A y un anillo k-local R (la serie de potencias formal sobre k, o el anillo infinitesimal servirán bien).
El álgebra A es naturalmente un álgebra de homotopía y, por lo tanto, puede estar dada por una coderivada de grado -1 cuadrado-cero en la álgebra libre coasociada de A[1]. Escribimos esta álgebra BA, la resolución de la barra. Obsérvese que en la teoría de la homotopía a menudo nos facilita la vida si olvidamos los elementos unitarios; BA no es unitaria.
Una deformación A-infty R de A es ahora una coderivada cuadrada-cero en la álgebra BA⊗R, tal que el diagrama "obvio" conmuta (podría publicar esto como una imagen cuando se me permita). La condición podría formularse alternativamente de la siguiente manera "tal que extienda la coderivada original en BA".
Hasta aquí todo han sido definiciones, mi respuesta a tu pregunta viene a continuación: Consideremos ahora el functor cobar aplicado al morfismo BA⊗R→BA,
Ω(BA⊗R) ≅ (ΩBA)⊗R → ΩBA.
Se trata de una deformación propia del álgebra, ¡no hay nada de infinito en ella! Excepto que... ΩBA es homotopía equivalente a A.
La respuesta corta y rápida:
Edito: Debería haber añadido, si quieres que te amplíe algo, estoy más que dispuesto.
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