Fantasmas de Faddeev-Popov

Question

Cuando cuantización de Yang-Mills teoría, se introduce a los fantasmas como una forma de evaluar la corrección de la ruta integral y asegurarse de que se "cuenta" sólo una contribución de cada indicador en la órbita del medidor de campo $A_\mu\,^a$, debido a que físicamente sólo las órbitas de los mismos corresponden a distintas configuraciones físicas, mientras que el movimiento en el calibre de la órbita no deben contribuir a la ruta integral.

¿Por qué a nosotros no se ejecuta en este problema cuando nos cuantización de los Fermiones, que también tienen un indicador de las transformaciones, y también tiene un medidor de órbita? No hemos de incluir un medidor de fijación de plazo para la Fermiones así, ¿o es que el término introducido por el Bosón de los campos ya elegir el calibre de la órbita de los Fermiones así? ¿Cómo funciona esta técnica viene a ser?

Hasta el momento de introducir un medidor de fijación de plazo en el Lagrangiano como $$ 1 = \int d\left[\alpha\right]\det\left(\frac{\delta G\left[A_{\mu}\left[\alpha\right]\right]}{\delta\alpha}\right)\delta\left(G\left[A\left[\alpha\right]\right]\right) $$ where $\alfa(x)$ are the gauge functions, and $G[]$ is a functional which is non-zero only for a unique gauge-representative in each gauge-orbit, where we have the transformations as: $$ \begin{cases} \psi_{c_{i}} & \mapsto\left(1+i\alpha^{a}t^{a}\right)_{c_{i}c_{j}}\psi_{c_{j}}+\mathcal{O}\left(\left(\alpha^{a}\right)^{2}\right)\\ A_{\mu}\,^{a} & \mapsto A_{\mu}\,^{a}+\frac{1}{g}D_{\mu}\,^{ab}\alpha^{b}+\mathcal{O}\left(\left(\alpha^{a}\right)^{2}\right) \end{casos} $$

Answer 1

Sólo tenemos una contribución de cada indicador equivalente cuestión de configuración en el campo:

Deje $P$ ser la principal $G$-bundle asociados a nuestra teoría de gauge en el espacio-tiempo $\mathcal{M}$ (por simplicidad, se supone que es $\mathcal{M} \times G$. El asunto de los campos son construidos como secciones de un asociado vector paquete de $P \times_G V_\rho$ donde $V_\rho$ es un espacio vectorial en el cual una representación $\rho$ del indicador, existe el grupo.

Ahora, los asociados paquete está construido a partir de $P \times V_\rho$ dividiendo la relación de equivalencia $$(p,v) \sim (q,w) \iff \exists g\in G \; : \; (p,v) = (qg,\rho(g^{-1})w)$$

Por lo tanto, los puntos que difieren sólo por un indicador de transformación son identificados, y por lo tanto son materia configuraciones del campo que sólo se diferencian por un indicador de la transformación, ya que corresponden a la exacta misma sección. Por lo tanto, si el modelo de la cuestión de los campos por el tipo correcto de las funciones de inmediato, podemos formalmente tomar el camino de la integral en el espacio de las secciones de los asociados paquete, contando cada materia medidor de configuración exactamente una vez.

No estoy 100% seguro de si esto se hace en el método estándar para la ruta integral, sin embargo.

Answer 2

¿Por qué nos indicador de corrección de la ruta integral en el primer lugar? Si estuviéramos haciendo gauge en teoría, no tenía necesidad de un medidor de corrección. Pero en el continuum caso, (Hesse) la acción para un generalizada$^1$ teoría de gauge cero, con las direcciones que conducen a infinito de factores a la hora de realizar la ruta integral de calibre de las órbitas. En un BRST formulación (como, por ejemplo, la Batalin-Vilkovisky formulación) de una generalizada de la teoría de gauge, el calibre de las condiciones de fijación, en principio, puede depender de medidor de campos, la materia campos, fantasma campos, anti-fantasma campos, multiplicadores de Lagrange, etc. Perturbativa, una condición necesaria para un buen indicador del proceso de fijación es que el calibre fijo de Hess es no degenerada (en la ampliación del campo-espacio de configuración). Genéricamente, el número de calibre de las condiciones de fijación debe coincidir con el número de medidor de simetrías.

Para Yang-Mills teoría con la Mentira de grupo $G$, una de las necesidades de ${\rm dim}(G)$ el indicador de las condiciones de fijación. Uno puede comprobar que, por diversas estándar de los indicadores que sólo implican el medidor de campos, no es necesario el indicador de revisión de la materia campos para lograr un no-degenerada de Hess.

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$^1$ Por la palabra generalizada de calibre teorías, nos referimos medidor de teorías que no son necesariamente de Yang-Mills tipo.