$(1+\frac{1}{n\log n})^n-1=O(\frac{1}{n})$ .

Question

Cuando resolviera un problema, podría resolverlo si asumiera que $(1+\frac{1}{n\log n})^n-1=O(\frac{1}{n})$

Intenté probarlo, pero fracasé.

En realidad, no me convence si es verdad.

¿Es correcto? Si es así, ¿cómo resolverlo?

Answer 1

No es cierto. De hecho $$\left(1 + \frac{1}{n \log n}\right)^n = \exp\left(\frac{1}{\log n}\right) + O\left(\frac{1}{n \log n}\right) = 1 + \frac{1}{\log n} + O\left(\frac{1}{\log(n)^2}\right)$$

Answer 2

La desigualdad de Bernoulli da $$\left(1+{1\over n\log(n)}\right)^n\geq 1+{1\over \log(n)}. $$

Answer 3

$$\lim_n (1\pm \frac{1}{n\log n})^n=\lim_n [(1 \pm \frac{1}{n\log n})^{n\log(n)}]^\frac{1}{\log(n)}=(e^{\pm 1})^0=1 $$

Answer 4

$(1+1/(n \log(n))^n$ $\to 1 $ como $n\to\infty$ .

Así que.., $(1+1/(n \log(n))^n$ = $O(1)$$ $

Como la función no converge a $0$ concluimos que

$f(n)$$ \neq O(1/n)$

Answer 5

Mostrar de forma elemental que su expresión es en realidad de orden $1/\log n$ , Utilizaré esta desigualdad "contra-Bernoulli":

Si $n$ es un número entero positivo y $0 < x < 1/n$ entonces $(1+x)^n < 1/(1-nx)$ .

Esto se demuestra fácilmente por inducción en la forma $(1-nx)(1+x)^n< 1$ .

Poniendo $x = 1/(n \log n)$ esto se convierte en $(1+1/(n \log n))^n < 1/(1-n/(n \log n)) = 1/(1-1/\log n) = \log n/((\log n) - 1) $ así que $(1+1/(n \log n))^n - 1 < \log n/((\log n) - 1)-1 = 1/((\log n) - 1) $ .

Poniendo $a$ para $\log n$ Esto, combinado con la desigualdad regular de Bernoulli, muestra que, si $a > 1$ entonces $1/a < (1+1/(an))^n-1 < 1/(a-1)$ .