Este es un lexema por S. Kinoshita, de su artículo "Notas sobre el Cubrimiento de Transformación de los Grupos", Procediendo de la AMS, volumen 19, 1968. Lema en sí está en la página 422. El papel está disponible gratuitamente desde la Jstor.
Edit. Aquí es el de un argumento detallado.
Deje $p: \tilde{X}\to X$ es una cubierta con el grupo de automorfismos $G$. Primero de todo, desde $X$ es Hausdorff, por lo que es $\tilde{X}$.
En primer lugar, algunos de notación. Elegir un punto de $x\in X$ deje $W$ ser un (abierto) barrio
de $x$ como en la definición de la cobertura de mapa: $p^{-1}(W)$ es un discontinuo de la unión de conjuntos abiertos
$\tilde{W}_j, j\in J$, de tal manera que la restricción de $p$ a cada una de las $\tilde{W}_j$ es un homeomorphism a
$W$. Deje $U$ ser otro barrio de $x$, cuyo cierre está contenida en $W$. (Barrio existe por la regularidad de $X$.) Para cada una de las $j\in J$ definir el conjunto
$$
\tilde{U}_j:=\tilde{W}_j\cap p^{-1}(U).
$$
Los conjuntos de $\tilde{U}_j$ son pares distintos.
Supongamos que para cada una de las $j\in J$ nos da un punto de
$$
b_j\en \tilde{U}_j.
$$
Definir $B=\{b_j: j\in J\}$. Entonces:
Lema 1. El conjunto $B$ no tiene acumulación de puntos en $\tilde{X}$.
Prueba. Supongamos que esa acumulación punto de $b$ existe. Entonces, por la continuidad de $p$, su imagen
$a=p(b)$ pertenece a la clausura de $U$, por lo tanto, $a\in W$. Por lo tanto, $b\in \tilde{W}_j$ algunos $j$.
Sin embargo, los conjuntos de $ \tilde{W}_j$ son pares distintos. Contradicción. qed
Lema 2. La acción de la $G$ $\tilde{X}$ es propiamente discontinua.
Prueba. Supongamos que no. Entonces existe un compacto $C\subset \tilde{X}$ de manera tal que el conjunto
$$
G_C:=\{g\in G: gC\cap C\ne \emptyset\}$$
es infinito. Voy a elementos índice de $G_C$$g_\alpha$, donde $\alpha\in A$, $A$ es un conjunto infinito.
Para cada una de las $g_\alpha$ elija $x_\alpha\in C\cap g_\alpha(C)$ y el conjunto de
$y_\alpha=g_\alpha^{-1}(x_\alpha)\in C$. Desde el grupo $G$ actúa en $\tilde{X}$ finitos (en realidad, trivial) punto-estabilizadores, ambos conjuntos
$$
P=\{x\alpha: \alpha\in A\}, Q=\{y_\alpha: \alpha\in A\}
$$
no puede ser finito al mismo tiempo. Voy a suponer que $Q$ es infinito, el argumento al $P$
es infinito es similar.
Por la compacidad de $C$, el subconjunto $Q$ tiene un punto de acumulación $c\in C$:
para cada vecindario $V$$c$, la intersección
$$
Q\cap V
$$
es infinito. (Aquí utilizamos el hecho de que $\tilde{X}$ es Hausdorff.)
Ahora voy a usar la notación de Lema 1. Deje $W$ $U$ ser barrios de $x=p(c)$
como en el Lema 1. Por definición, $c$ pertenece a una única $\tilde{U}_i$, $i\in J$. Deje $V:=\tilde{U}_i$. Tenemos infinidad de $y_\alpha$'s que pertenecen a $V$; también tenemos
sus imágenes de $x_\alpha=g_\alpha(x_\alpha)$. Cada una de las $x_\alpha$ pertenece a una única
$\tilde{U}_{j(\alpha)}=g_\alpha(V)$ $\beta\ne\alpha$ los conjuntos de $\tilde{U}_{j(\alpha)}, \tilde{U}_{j(\beta)}$ son distintos. (En particular, los puntos de $x_\alpha$ son parejas distintas.)
Por el Lema 1, el conjunto de $B$ de los puntos de $b_\alpha:=x_\alpha$ no tiene un punto de acumulación en $\tilde{X}$. Sin embargo, todos estos puntos pertenecen a un compacto $C$. Contradicción. qed
