Núcleo de un mapa de sustitución

Question

Supongamos que $R=k[x,y,z]$ y $S=k[t]$. Considerar el mapa $f:R\to S$ % s.t. $f(x)=t$, $f(y)=t^2$ y $f(z)=t^3$. Sospecho que el núcleo de este mapa es el % ideal de $(y-x^2,z-x^3)R$.

Claramente está contenido en el núcleo, pero no estoy seguro de cómo probar la inclusión inversa.

Answer 1

Puesto que $\mathfrak I = (y-x^2,z-x^3)$ se contiene en el núcleo, el mapa corresponde a un mapa $R/\mathfrak I\to S$. Muestran que este mapa es inyectivo.

Answer 2

Sugerencia: Si $I = (y-x^2, z-x^3)$, luego desde $I$ está en el núcleo de $f$, tenemos un mapa inducido $f : R/I \to S$ que claramente es sobreyectiva, por lo que basta mostrar que es inyectiva. Ahora utilice el hecho de que cada elemento del coset $R/I$ contiene un elemento de $R$, que es puramente un polinomio en $x$.