¿Es posible demostrar que $3$ es una raíz primitiva de cualquier primer Fermat sin reciprocidad cuadrática?

Question

La navegación en línea, encontrar un puñado de las pruebas que se $3$ siempre es una raíz primitiva de cualquier Fermat prime $2^n+1$. Una particular prueba se encuentra en los problemas 4 y 5 de aquí. Otra prueba que he encontrado en una página en SUNYSB hace uso de Pepin en la prueba cuya prueba parece requerir la reciprocidad cuadrática.

Así por curiosidad, ¿es posible demostrar que el Fermat prime ha $3$ como una raíz primitiva sin el uso de la reciprocidad cuadrática?

Las pocas observaciones que sí sé es que si $2^n+1$ es el primer para$n\gt 1$, $n$ es en realidad un poder de $2$, y que en este caso $U(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ orden $2^n$, por lo que el orden de $3$ también debe ser una potencia de $2$, pero no pude conseguir mucho más que eso.

Answer 1

Sugerencia de Irlanda/Rosen que evita explícitamente el uso de la reciprocidad cuadrática:

Si $3$ no es un elemento primitivo, muestran que $3$ es congruente a un cuadrado. Use el ejercicio $4$ (lo que indica que si $q$ es un primer e $q \equiv 1 \pmod{4}$, $x$ es un residuo cuadrático $\bmod q$ si y sólo si $-x$ es un residuo cuadrático $\bmod{q}$) para mostrar que no es un número $a$ tal que $-3 \equiv a^2 \pmod{p}$. Ahora solucione $2u \equiv - 1 + a \pmod{p}$ y muestran que $u$ orden $3$. Esto implicaría que $p \equiv 1 \pmod{3}$, lo que no puede ser cierto.

Answer 2

Deje $n$ indicar el número de $2^{2^{n'}}+1$, $g$ ser una raíz primitiva módulo $n$, y deje $n(a)$ denotar el orden de $a$ modulo $n$, para un entero $a$. Desde $a^{n(a)}\equiv g^{n-1} \pmod{n}$ si $n$ es un número primo, $a\equiv g^{(n-1)/n(a)} \pmod{n}$; por lo tanto $a$ es un residuo cuadrático módulo $n$ si, y sólo si, (n-1)/n(a) es par. Tomar para $n$ el número de $2^{2^{n'}}+1$, podemos ver que $a$ es un residuo cuadrático módulo $n$ si y sólo si $a$ no es una raíz primitiva módulo $n$.
Como $2^{2^{n'}}+1\equiv 2 \pmod{3}$, para cada $n'$>1, $n$ es de la forma $3x+2$. Si 3 es un residuo cuadrático módulo $n$ $n$ debe dividir un número de la forma $x²-3y²$, por lo tanto $\equiv 1 \pmod{3}$, lo que obviamente es una contradicción. Por lo tanto 3 no es un residuo cuadrático módulo $n$, por lo tanto 3 es una raíz primitiva módulo $n$.
Por favor, perdóname por algún error de escritura.
Gracias en cualquier caso por prestar atención.