Serge Lang nunca explica nada

Question

En la página 149 de la Teoría Algebraica de números por Serge Lang, estoy tratando de entender por qué la inclusión de $$k^{\ast}N_k^K(J_K) \cap J_c \subseteq \psi^{-1}(P_c \mathfrak N(c))$$ es cierto. He estado tratando durante 3 horas. ¿Alguien puede por favor explicar?

EDIT: Lo que todo esto significa: $K/k$ es un abelian extensión de los campos de número. $c = (m(v))$ es la admisión de un ciclo de $k$ divisible por todos los ramificado, primos, $J_c$es el subgrupo de la ideles de $k$: $$\prod\limits_{v \mid c} W_c(v) \prod\limits_{v \no\mid c}' k_v^{\ast}$$ donde $W_c(v) = 1 + \mathfrak p_v^{m(v)}$ para $v$ finito, y $W_c(v)$ $(0, \infty)$ cuando $v$ es real. Desde $c$ es admisible, lo que significa que $W_c(v)$ es incluida en el grupo de las normas locales para la totalidad de los $v \mediados de c$.

$\phi$ es un homomorphism de $J_c$ para el grupo de fracciones de ideales que son relativamente primos a $c$ dada por $x \mapsto \prod\limits_{v \nmid c, v < \infty} \mathfrak p_v^{\nu_v(x_v)}$. También $P_c$ es el grupo de los principales ideales de $x \mathcal O_k$, donde $x \in J_c \cap k^{\ast}$ (en la notación estándar, $x \equiv 1 \mod^{\ast} c$). Finalmente $\mathfrak N(c)$ es el grupo de normas de la fracción de los ideales de $K$ que son relativamente primos a $c$.

Answer 1

$\newcommand{\fraka}{\mathfrak{a}} \newcommand{\frakA}{\mathfrak{A}} \newcommand{\frakc}{\mathfrak{c}} \newcommand{\frakN}{\mathfrak{N}} \newcommand{\frakb}{\mathfrak{b}}$ Deje que $\alpha \J_\mathfrak{c}$ ser un idèle que es primo relativo a $\mathfrak{c}$ tal que $\alpha = aN_{K/k}(\beta)$ $\beta\en J_K$ y $a\in k^*$. Queremos mostrar a $\psi(\alpha)\en P_\frakc \frakN_\frakc$.

Tenemos $\psi(a)\P$ y $\psi(N_{K/k}(\beta))\in \frakN$, entonces $\psi(\alpha) \P\frakN$. Además, dado que $\alpha\J_\frakc$, también tenemos $\psi(\alpha) \I(\frakc)$. Es entonces suficiente para demostrar que $I(\frakc)\cap P\frakN \subconjunto P_\frakc \frakN_\frakc$.

Así que vamos a $\frakb\en \frakN$ y $(a)\P$ tales que $(a)\frak{b}$ es primo relativo a $\frakc$ (por ejemplo, $\frak{b} = \psi(\beta)$ y $(a)=\psi(una)$ en la de arriba).

Ahora, por el teorema de aproximación, existe alguna $\gamma\K^\times$ tales que $N_{K/k}(\gamma)\frakb$ es primo $\frakc$. Por ejemplo, para la totalidad de los $v|\frakc$, $v<\infty$, si $w_1,\cdots,w_r$ son los lugares más de $v$, podemos elegir $\gamma$ tales que $w_1(\gamma)=-v(\frakb)$ y $w_i(\gamma)=0$ para $i>1$. Ahora vamos a $a' = aN_{K/k}(\gamma^{-1})$ y $\frakb' = N_{K/k}(\gamma)\frakb$, por lo que $a'\frakb'=a\frakb$. Entonces $\frakb'$ y $un'\frakb'$ son relativamente primos a $\frakc$, entonces $(a')$ es también relativamente primos a $\frakc$. En otras palabras $(a')\en P_\frakc$, $\frakb'\en \frakN_\frakc$ y por lo que $a\frakb='\frakb'\en P_\frakc\frakN_\frakc$.