Cómo encontrar el valor $\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x^2}\left(1-\cos{x}\cdot\sqrt{\cos{(2x)}}\cdots\sqrt[n]{\cos{(nx)}}\right)$

Question

Encontrar el valor $$I_{n}=\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x^2}\left(1-\cos{x}\cdot\sqrt{\cos{(2x)}}\cdots\sqrt[n]{\cos{(nx)}}\right)$$

Estos son mis métodos: \begin{align*}I_{n+1}-I_{n}&=\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x^2}\left(\cos{x}\cdot\sqrt{\cos{(2x)}}\cdots\sqrt[n]{\cos{(nx)}}\left(1-\sqrt[n+1]{\cos{(n+1)x}}\right)\right)\\ &=\lim_{x\to 0}\dfrac{1-\sqrt[n+1]{\cos{(n+1)x}}}{x^2}\\ &=\dfrac{n+1}{2} \end{align*} así que $$I_{n}=\dfrac{n(n+1)}{4}$$

¿Tienes otros buenos métodos? Gracias

Answer 1

$$ \cos(nx) = 1 - \frac{n^2 x^2}{2} + O(x^4) $$

como $x \to 0$ así que

$$ \sqrt[n]{\cos(nx)} = 1 - \frac{n x^2}{2} + O(x^4) $$

por el teorema del binomio, así

$$ \begin{align} \cos(x)\sqrt{\cos(2x)}\cdots\sqrt[n]{\cos(nx)} &= 1 - \frac{x^2}{2} \sum_{k=1}^{n} k + O(x^4) \\ &= 1 - \frac{n(n+1)}{4} x^2 + O(x^4). \end{align} $$