Convergencia uniforme de series infinitas

Question

Supongo que $f$ es una función holomorfa (no necesariamente delimitada) en $\mathbb{D}$ tal que $f(0) = 0$. Probar la la $\sum_{n=1}^\infty f(z^n)$ de la serie infinita converge uniformemente en subconjuntos compactos de $\mathbb{D}$.

Me encontré con este problema en el torneo de hoy Aquí es lo que tengo hasta ahora, desde $f(0) = 0$, podemos escribir $f(z) = z^m h(z)$ % entero $m$. Entonces $f(z^n) = z^{nm}h(z^n)$. Entonces podríamos usar criterio de Cauchy para la convergencia uniforme para terminar la prueba.

Answer 1

Qué parece correcto.

Una forma alternativa es la siguiente: que $M_R:=\sup_{|z|\leq R}|f(z)|$. Define un % fijo $R<1$, $g(z):=\frac 1{1+M_R}f(Rz)$, desde el disco unidad abierto a sí mismo. Entonces por el lema de Schwarz, tenemos por lo tanto, $|g(z)|\leq |z|$ % todo $z\in D$, $|f(Rz)|\leq (1+M_R)|z|$ % todos $z\in D$. Conseguimos que $|f(z)|\leq \frac{1+M_R}R|z|$ % todo $z$en la bola cerrada de centro $0$y radio $R$, que demuestra que la serie $\sum_nf(z^n)$ es normalmente convergente en este conjunto.

Más simplemente, un % fijo $R\in (0,1)$, tenemos $$\sup_{|z|\leq R}|f(z^n)|\leq \sup_{|z|\leq R^n}|f(z)|. utilizamos continuidad en $0$ $f$.