Demostrando $x\in\text{SL}(n,\mathbb Q)$ finito dado que los índices de $x^{-1}Gx$ $G$ $x^{-1}Gx$

Question

Denotar $G=\text{SL}(n,\mathbb Z)$ y deje $x\in \text{SL}(n,\mathbb R)$ tal que $$[G:x^{-1}Gx\cap G],[x^{-1}Gx:x^{-1}Gx\cap G]<\infty.$$ Demostrar que $x\in\text{SL}(n,\mathbb Q)$.

Sé que $\text{SL}(n,\mathbb Z)$ es finitely generados, pero de alguna manera no puedo encontrar la manera de usar para mostrar que las entradas de $x$ son todos racionales.

Lo mejor que tiene es que para $n=2$, por algunos de cálculo, $x=\sqrt q M$ donde $q\in\mathbb Q,M\in\text{GL}(2,\mathbb Q)$. De ahí que yo no podía probar que $\sqrt q\in\mathbb Q$.

Puedo obtener una idea de cómo proceder? incluso para el caso de $SL(2,\mathbb Z$)?

Answer 1

Este es un caso especial de un teorema por A. Borel (en el contexto de la aritmética subgrupos de semisimple algebraica de los grupos):

A. Borel, Densidad y maximality de la aritmética subgrupos. J. Reine Angew. De matemáticas. 224 (1966), 78-89.

Tal vez hay una manera más simple prueba en la SL(n) caso. Venkataramana o D. Witte Morris en Mathoverflow seguramente va a saber uno si no hay tal.