Así que necesito demostrar, a partir de la definición de reales como secuencias de Cauchy de racionales, que i no es un número real. La orientación que se da es suponer que a\sim b son secuencias de Cauchy equivalentes de racionales tales que \displaystyle \lim_{k\rightarrow \infty} a_{k}b_{k} = -1 . Aparentemente debo hacerlo por contradicción.
Lo que he hecho hasta ahora es (a grandes rasgos) suponer estas cosas, y dejar P=\max{\{M,N\}} por el mayor de los rangos de las dos secuencias, de manera que ambas estén limitadas por cualquier \varepsilon>0 para todos p>P . Para abreviar, dejemos que a_{p}=a, b_{p}=b .
He hecho muchas manipulaciones algebraicas en |ab+1| y |a-b| utilizando el hecho de que ambos son positivos y menores que \varepsilon>0 . También he intentado hacerlo con la restricción de que \varepsilon <1 ya que pensé que tal vez podría demostrar que combinándolos de la manera correcta podría obtener algo mayor que 1. Pero hasta ahora no hubo suerte.
El álgebra que he probado:
|ab+1|+|a-b|
|ab+1|^2 + |a-b|
2|a-b|^2 + |ab+1|
Y muchas, muchas otras permutaciones en estos. Pero no he encontrado la forma de sacar una contradicción de ninguna de ellas. ¿Alguna orientación?
Gracias.