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Construyendo reales: Prueba i no es real

Así que necesito demostrar, a partir de la definición de reales como secuencias de Cauchy de racionales, que i no es un número real. La orientación que se da es suponer que a\sim b son secuencias de Cauchy equivalentes de racionales tales que \displaystyle \lim_{k\rightarrow \infty} a_{k}b_{k} = -1 . Aparentemente debo hacerlo por contradicción.

Lo que he hecho hasta ahora es (a grandes rasgos) suponer estas cosas, y dejar P=\max{\{M,N\}} por el mayor de los rangos de las dos secuencias, de manera que ambas estén limitadas por cualquier \varepsilon>0 para todos p>P . Para abreviar, dejemos que a_{p}=a, b_{p}=b .

He hecho muchas manipulaciones algebraicas en |ab+1| y |a-b| utilizando el hecho de que ambos son positivos y menores que \varepsilon>0 . También he intentado hacerlo con la restricción de que \varepsilon <1 ya que pensé que tal vez podría demostrar que combinándolos de la manera correcta podría obtener algo mayor que 1. Pero hasta ahora no hubo suerte.

El álgebra que he probado:

|ab+1|+|a-b|

|ab+1|^2 + |a-b|

2|a-b|^2 + |ab+1|

Y muchas, muchas otras permutaciones en estos. Pero no he encontrado la forma de sacar una contradicción de ninguna de ellas. ¿Alguna orientación?

Gracias.

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DanV Puntos 281

SUGERENCIA: Si a_k\sim b_k entonces, sin pérdida de generalidad, se puede suponer que a_k=b_k . Por lo tanto, a_kb_k es ahora (a_k)^2 . Utilice el hecho de que x^2\geq 0 para los números racionales (o demostrar ese hecho primero), y concluir que un límite de cuadrados no puede ser un número negativo.

3voto

Esto es un poco de truco, pero: a_kb_k = \tfrac12\big(a_k^2 + b_k^2 - (a_k-b_k)^2\big) \ge -\tfrac12(a_k-b_k)^2 \to 0 (Tal vez valga la pena comparar con la prueba de que la multiplicación está bien definida en los reales - sospecho que debe utilizar algún truco como éste).

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