En el cálculo, cuando tomamos límites de funciones, digamos $\lim_{x\to a}f(x),$ ¿exigimos que $x$ tiende a $a$ ¿desde el dominio?
Por ejemplo, yo diría $\lim_{x\to 0} \sqrt{x}=0$ ya que estoy bajo la suposición de que por " $\lim_{x\to 0}$ "queremos decir que $x\to 0$ y $x$ está en el dominio. Sin embargo, esto no es coherente con el "Cálculo" de Stewart. 
Así que a este nivel, ¿debo decir que $\lim_{x\to 0}\sqrt{x}$ es indefinido?
El libro de Cálculo de Stewart no es el mejor para obtener todos los detalles. Pero el libro está bien para un curso de introducción al Cálculo en el que el interés principal es ser capaz de calcular los límites. El libro proporciona motivación para temas como los límites. Se puede discutir si las cosas deben ser planteadas con mayor precisión. Y a veces una mayor precisión no significa una mayor claridad.
Dada una función $f: D \to \mathbb{R}$ con dominio $D$ y $a$ es un punto de acumulación de $D$ escribimos que $$ \lim_{x\to a} f(x) = L $$ si $$ \forall \epsilon > 0 \exists\delta>0: x\in D , 0<\lvert x-a\rvert < \delta \Rightarrow \lvert f(x) - L\rvert < \epsilon. $$
A menudo no escribimos el $x\in D$ parte, pero se asume. Con esta definición se puede escribir perfectamente que $$ \lim_{x\to 0} \sqrt{x} = 0. $$
¿Te referías a tener $a\in D$ ? Eso restringe mucho la cantidad de lugares a los que puedes llevar límites. Y como he preguntado antes, ¿qué pasa con la situación en la que una función se define, digamos, sólo en los racionales? Supongo que el punto real es que esto no es un curso de "matemáticas", sino más bien un curso de cálculo. Eso solía molestarme mucho cuando empecé a dar clases en EE.UU., y parece que ha vuelto ahora que ya no doy clases allí.:D
Esta definición me parece problemática porque permite límites a aislado puntos de un dominio. Por ejemplo, supongamos $D=\mathbb{Z}$ y $a=0$ . En $\delta={1\over2}$ independientemente de $\epsilon$ la implicación si-entonces $x\in D,0\lt|x-0|\lt{1\over2}\implies|f(x)-L|\lt\epsilon$ es trivialmente cierto (para todo $x$ ) porque la parte "si" es falsa. El problema con esto, diría yo, es que el límite $L$ es no único .
@BarryCipra La definición requiere $a$ sea un punto de acumulación de $D$ (en lugar de $a\inD$ ), pero el resto de la definición es como la escribió Thomas. (Véase, por ejemplo: encyclopediaofmath.org/index.php/Límite ).
Resumiendo nuestra discusión con Jean-Claude Arbaut: Depende.
La definición que nos das del cálculo de Stewart es lo que yo llamaría muy chapucera pero lo que pasa por "fácil de entender" en algunos cursos de cálculo de principiantes. Puede que haya información extra en el libro de texto que no hayas copiado, así que no quiero juzgarlo con demasiada dureza. El punto que estoy tratando de hacer aquí es que no hay suficiente información para decidir lo que se supone que es un límite de ese texto.
La definición de límite a la que estoy acostumbrado en Estados Unidos es la siguiente.
Dejemos que $D\subseteq\mathbb{R}$ , $f:\mathbb{D}\rightarrow \mathbb{R}$ sea una función, y que $a\in \mathbb{R}$ y que exista un $\gamma\in\mathbb{R}\;\gamma>0$ tal que $(a-\gamma,a+\gamma)\setminus \{a\}\subset Dom(f)$ . Entonces decimos que $L$ es el límite de $f$ en $a$ escribimos $$\lim_{x\to a}f(x)=L$$ si $\forall \epsilon\; (\epsilon>0) \exists \delta\; (\delta>0)$ tal que $\forall x \;0<|x-a|<\delta \implies |f(x)-L|<\epsilon$ .
Para poder hablar de un límite de $f$ en un punto $a$ , algún intervalo abierto alrededor de $a$ (no contiene $a$ ) debe estar en el dominio de $f$ . Esta es la parte de la definición que garantiza que $\lim_{x\to 0}\sqrt{x}$ no existe.
Según he podido comprobar con Jean-Claude, esta no es la definición habitual en Francia. En lugar de exigir que un intervalo abierto alrededor de $a$ es parte del dominio adoptan el enfoque de que cada barrio de $a$ (sin incluir $a$ ) debe intersecar el dominio de $f$ . Esto asegura que suficientes puntos alrededor de $a$ están en el dominio para que la noción de límite tenga sentido. En ese caso $\lim_{x\to 0}\sqrt{x}=0$ y existe.
En conjunto, debes asegurarte de que sabes cuál es la definición de límite real que estás utilizando y decidir en consecuencia. Lo más probable es que, si estás en Estados Unidos, utilices la definición que he presentado anteriormente o algo equivalente.
EDIT: Se ha corregido la definición para señalar que la función podría no ser de todos los $\mathbb{R}$ .
Permítanme añadir que la suposición más razonable sobre $a$ es que debe ser un punto de acumulación del dominio de la función. Si un intervalo entero (puntuado) sobre $a$ está contenido en el dominio, esto es claramente cierto.
@Siminore No quiero entrar en una larga discusión, pero ¿podrías especificar de qué tradición escolástica eres (estadounidense, francesa, ..), si crees que una función definida sólo sobre los racionales (digamos $f(x)=x$ ) tiene límites y si los tiene, ¿es continua en todos los racionales? Posiblemente en realidad una respuesta sería más constructiva que un comentario, ya que si sólo se asume el punto de acumulación la respuesta a la pregunta del OP es opuesta a la mía.
Si usted dice que $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ muchos entenderán esto como que el dominio de $f$ es el conjunto de todos los números reales.
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Comentarios eliminados: no es incorrecto, pero está demasiado regionalizado para ser útil aquí, donde existen diferencias significativas entre las definiciones habituales de límite en francés e inglés.
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También borrado comentarios, ya que era sobre todo una discusión. El resultado esencial es que tienes que averiguar cuáles son las convenciones donde estás tomando la clase, y si hablas con compañeros matemáticos asegúrate de que tus definiciones coinciden o sabes en qué se diferencian.
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Incluso en EE.UU., varios libros definen la $\lim_{x\to a}f(x),$ sólo requiriendo $x$ tiende a $a$ desde dentro del dominio y NO exigir que para algunos $\gamma$ , $(a-\gamma,a+\gamma)\setminus \{a\}\subset Dom(f)$ . Véase, por ejemplo, Análisis I, Serge Lang . Otro ejemplo es: encyclopediaofmath.org/index.php/Límite . Según esos libros y fuentes estadounidenses, es correcto escribir $\lim_{x\to 0}\sqrt{x}=0$ . De hecho, es totalmente coherente con la escritura, por ejemplo, $\lim_{x\to -\infty} e^x=0$ .