solución fundamental del operador de Beltrami de Laplace

Question

Es bien sabido que $s(z,z_0)=\frac{1}{2\pi} \ln \vert z-z_0\vert$ satisface $\Delta_z s=\delta_{z_0}$ en dimensión $2$ . ¿Alguien tiene una referencia cuando consideramos una métrica general $g$ en un conjunto abierto de $R^2$ ? es decir, cuál es la solución de $(\Delta_g)_z s=\delta_{z_0}$

Answer 1

En general no hay una expresión explícita, pero bajo algunas condiciones suaves sobre la métrica, se sabe que existen, y se conoce su comportamiento cualitativo. Como referencia, sugiero Algunos problemas no lineales de la geometría de Riemann por Thierry Aubin.