¿Cómo puedo demostrar la convergencia de una torre de energía?

Question

Aquí dentro, He visto que $$x^{x^{x^{x^{x^{x^{x^{.{^{.^{.}}}}}}}}}}$$ existe como número real (convergente) si y sólo si $$x\in[e^{-e}, e^\frac{1}{e}].$$ ¿Cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

Utilizando La notación de flecha hacia arriba de Knuth ,

$$\newcommand{\W}{\operatorname{W}}x^{x^{x^{x^{x^{x^{x^{.{^{.^{.}}}}}}}}}} = \lim_{n \to \infty} x\uparrow\uparrow n$$

Dejemos que $\displaystyle y = \lim_{n \to \infty} x\uparrow\uparrow n$ y supongamos que hace convergen.

Entonces, $\displaystyle x^y = \lim_{n \to \infty} x \uparrow\uparrow(n+1)$

Como $n \to \infty$ , $n + 1 \to \infty$ (A grandes rasgos $\infty \pm n \to \infty$ )

Por lo tanto, $\displaystyle \lim_{n \to \infty} x\uparrow\uparrow n \equiv \lim_{n \to \infty} x \uparrow\uparrow(n+1) \implies \boxed{\displaystyle y = x^y}$

Una solución trivial en este caso es $(x,y) = (1,1)$

Las variables $x$ y $y$ en $y = x^y$ no son separables (no podemos aislar ninguna de las variables aquí en ningún lado) en esta ecuación mediante las manipulaciones algebraicas habituales.

Sin embargo, podemos utilizar el Lambert $\W$ función para aislar las variables, $$y = - \frac{\W(-\ln x)}{\ln x}$$

Considerando los valores reales de $\W$ y el uso de la método de iteración de punto fijo ,
se puede ver que $\displaystyle x\in\left[\frac1{e^{e}}, e^\frac{1}{e}\right]$

Buena suerte :)

Answer 2

La ecuación

$$x^{x^{x\cdots}}$$

no está bien definido, tenemos que encontrar alguna forma de definirlo para encontrar su valor.

Hay dos definiciones sensatas:

La primera es decir que lo que está en el exponente es en realidad lo mismo que el conjunto, que se escribe como

$$y=x^y$$

Y la resolución de $y$ aquí daría la solución.

Para resolver esto necesitamos una función multivaluada especial llamada Lambert $\newcommand{\W}{\operatorname{W}}\W$ función que satisface $z=\W(z)\cdot\exp(\W(z))$ para todos los complejos $z$ . La solución es entonces

$$y=-\frac{\W(-\log x)}{-\log x}$$

Si restringimos la atención a los valores reales $\W$ la función está definida sólo para $x \ge 1/e$ y es de doble valor en $(1/e, 0)$ .

Dado que el argumento es $-\log x$ que es decreciente, y $-\log(e^{1/e})=-\frac1e$ nuestra solución sólo está definida cuando $x\le e^{1/e}$ y cuando se define el logaritmo. Por lo tanto, bajo esta definición, la función está definida (no necesariamente de forma única) y real cuando $x\in[0,e^{1/e}]$

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Sin embargo, existe otra definición:

Definir la secuencia $a_n$

$$a_0=x\qquad\qquad a_n=x^{a_{n-1}}$$

Y el valor que buscamos es

$$\lim_{n\to\infty}a_n$$

Que puede escribirse como $$\lim_{n\to\infty}x\uparrow\uparrow n$$

En Respuesta de Nicks se explica por qué esto es lo mismo que la definición $y=x^y$

Answer 3

Como Lucian mencionado anteriormente, he considerado la función $$f(y)=y^{\frac{1}{y}}$$ $$\lim_{y\to 0^+}f(y)=0$$ $$\lim_{y\to \infty}f(y)=1$$ También $$f'(y)=y^{\frac{1}{y}}\Big(\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{\ln y}{y^2}\Big).$$ Utilizando esto, tenemos un máximo de $f(y)$ se produce en $y=e.$ Por lo tanto, $$f(y)\le e^{\frac{1}{e}},\,\,\,\,\,\, \forall y\ge 0.$$ Pero no tenía idea de cómo obtener el límite inferior $e^{-e}.$