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Resolver $\cos(3x)= \cos(2x)$

Tengo que resolver $$\cos(3x)= \cos(2x)$$

Encontré cómo expresar ambos para $x$ solamente y ahora tengo $$4\cos^3(x)-3\cos(x)=2\cos^2(x)-1$$

¿Qué hago ahora?

1 votos

Mi pista: $\cos A=\cos B\iff A=B$

17voto

Observa que tenemos $$\cos(3x)=\cos(2x)$$ $$3x=2n\pi\pm 2x$$ Donde, $n$ es cualquier entero

Ahora, tenemos las siguientes soluciones

$$3x=2n\pi+2x\implies \color{red}{x=2n\pi}$$ o $$3x=2n\pi-2x\implies \color{red}{x=\frac{2n\pi}{5}}$$

0 votos

Veo que funciona bastante bien, ¡gracias! Pero ¿puedes explicar el +/- 2x?

6 votos

Está bien, sabemos que $\cos(2n\pi+\theta)=\cos(2n\pi-\theta)=\cos\theta$ Por lo tanto, la solución general de $\cos (3x)=\cos(2x)$ es $3x=2n\pi\pm 2x$

7 votos

Parece que tu primera familia de soluciones es un subconjunto de tu segunda familia.

6voto

Chappers Puntos 20774

Tenemos la fórmula $$ \cos{(a+b)}-\cos{(a-b)} = -2\sin{a}\sin{b}, $$ entonces si ponemos $a=5x/2,b=x/2$, tenemos $$ 0 = \cos{3x}-\cos{2x} = -2\sin{\left(\frac{5}{2}x\right)}\sin{\left(\frac{x}{2}\right)},$$ así que solo tienes que determinar el valor de $x$ para el cual uno de los senos sea igual a $0$, lo cual estoy seguro de que puedes hacer.

3voto

user235783 Puntos 181

Pista:

Utiliza este resultado

$$\cos(a)=\cos(b)\iff a\equiv \pm b\pmod{2\pi}$$

2voto

G M Puntos 125

Has llegado a la ecuación cúbica $$4t^3-2t^2-3t+1=0$$ donde $$t=\cos(x)\in [-1,1]$$

Una raíz es $t=1$. Divide el polinomio por $(t-1)$ y encuentra las otras dos raíces. Finalmente substituye $t=\cos(x)$ para encontrar $x$.

0voto

David Sowsy Puntos 1416

pista: $$\cos \alpha=\cos \beta$$$$\iff \alpha=2k\pi\pm \beta$$ donde; $k=0, \pm1, \pm2, \pm 3, \ldots$

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