La singularidad de $\sin x$ y $\cos x$ ? (Problema del examen de Putnam)

Question

Estoy luchando con este problema del antiguo examen de Putnam:

Supongamos que $f$ y $g$ son funciones no constantes, diferenciables y de valor real sobre $R$ . Además, supongamos que para cada par de números reales $x$ y $y$ , $f(x + y) = f(x)f(y) - g(x)g(y)$ y $g(x + y) = f(x)g(y) + g(x)f(y)$ . Si $f'(0) = 0$ , demuestre que $(f(x))^2 + (g(x))^2 = 1$ para todos $x$ .

Sí. Así que obviamente, $f(x) = \cos x$ y $g(x) = \sin x$ satisfacen las condiciones y también la conclusión del problema. Pero, ¿son éstas las únicas funciones de este tipo, y si es así, cómo demostrarlo? Y si no, ¿cómo demostrar la conclusión de otra manera?

Answer 1

Esta es una forma diferente.

Tenemos

$f(x+y) = f(x) f(y) - g(x) g(y)$

Diferenciar wrt $y$

$f'(x+y) = f(x)f'(y) - g(x) g'(y)$ , poned $y = 0$ .

$f'(x) = -g(x) g'(0)$

Del mismo modo, obtenemos

$g'(x) = f(x) g'(0)$

Así, $f(x)f'(x) + g(x)g'(x) = 0$

Así, la función $f^{2}(x) + g^{2}(x)$ es constante, ya que su derivada es cero.

Ahora

$f(0) = f^2(0) - g^{2}(0)$

y

$g(0) = 2f(0)g(0)$

Elevando al cuadrado y sumando ambos obtenemos

$f^{2}(0) + g^{2}(0) = (f^{2}(0) + g^{2}(0))^2$

Ahora bien, si $f^{2}(0) + g^{2}(0) = 0$ entonces porque $f^{2}(x) + g^{2}(x)$ es una constante, obtenemos $f(x) = 0$ lo que implica $f$ es constante.

Así, $f^{2}(0) + g^{2}(0) = 1$ y por lo tanto $f^{2}(x) + g^{2}(x) = 1$

Answer 2

Ya que KennyTM ha publicado una prueba muy elegante, voy a publicar una poco creativa que no requiere ningún pensamiento para producirla.

Primero escribe todas las identidades obvias que se desprenden de la información contada:

• $f(x + y) = f(x)f(y) - g(x)g(y)$

• $f(x) = f(x)f(0) - g(x)g(0)$

• $f(0) = f(0)f(0) - g(0)g(0)$

• $g(x + y) = f(x)g(y) + g(x)f(y)$

• $g(x) = f(x)g(0) + g(x)f(0)$

• $g(0) = f(0)g(0) + g(0)f(0)$

• $Df(x + c) = Df(x)f(c) - Dg(x)g(c)$

• $Dg(x + c) = Df(x)g(c) + Dg(x)f(c)$

• $Df(0) = 0 = Df(0)f(0) - Dg(0)g(0) = -Dg(0)g(0)$

• $Dg(0) = Df(0)g(0) + Dg(0)f(0) = Dg(0)f(0)$

El $Df(0)$ la ecuación nos dice que $Dg(0) = 0 \lor g(0) = 0$ Como no queremos $Dg(0) = 0$ permite descargar eso automáticamente ahora demostrando que es contradictorio: Implicaría que $Dg(0 + c) = Df(0)g(c) + Dg(0)f(c) = 0$ así que $g(x)$ sería una constante, pero eso no está permitido.

Hemos visto que $g(0) = 0$ y ahora actualizamos los identificadores con esta información, y eso nos dice es que $f(0) = 1$ . No podemos determinar el valor de $Dg(0)$ así que llámalo alguna constante $k$ . Ahora es fácil reconocer que tenemos un problema simple de EDO que podría ser resuelto simbólicamente por una calculadora o tomando los valores/vectores propios de la matriz que define el sistema. Dando las soluciones $\sin(kx)$ & $\cos(kx)$ .

Answer 3

Dejemos que $u(x) = f(x)^2 + g(x)^2$ . Debería ser fácil demostrar que $u(x+y) = u(x)u(y)$ Por lo tanto $u$ debe ser una función exponencial $u(x) = e^{Bx}$ .

Ahora, como $f(2x) = f(x)^2 - g(x)^2$ deberíamos obtener $0 = g(0) g'(0)$ . Comparando esto con $u'(0)$ debemos conseguir $B = 0$ Por lo tanto $f(x)^2 + g(x)^2 = 1$ .