La restricción de un divisor de Weil a un esquema local

Question

Disculpas si el título es basura. Yo no podía pensar en nada más pertinente, pues es solo una anotación pregunta.

En Hartshorne, p.141, la Proposición 6.11, se muestra que los divisores de Weil se Cartier (bajo algunos supuestos).

Mi pregunta es, ¿qué demonios significa esto para $\mbox{Spec } \mathcal{O}_x$ a un esquema local; por otra parte, ¿cómo hace uno para inducir un divisor de Weil $D_x$?

En mi cabeza se supone que esta es la restricción $D$ a un punto dado; la construcción, a continuación, da un local de la ecuación de $D$$x$.

Sin embargo, estoy luchando para ver cómo el esquema de $\mbox{Spec } \mathcal{O}_x$ corresponde a todos a $x$: no es siquiera un punto menos que el tallo es un campo.

Gracias por la ayuda ofrecida.

Answer 1

Un esquema local es el afín espectro de $\mathrm{Spec}(A)$ de un anillo local $A$; un esquema de este tipo siempre tiene un único cerrado de punto. Para cualquier esquema de $X$, el espectro de $\mathrm{Spec}(\mathscr{O}_{X,x})$ se llama el esquema local de $X$ en el punto de $x$. Hay un canónica de morfismos $\mathrm{Spec}(\mathscr{O}_x) \to X$ y el mapa de los espacios topológicos es un homeomorphism de $\mathrm{Spec}(\mathscr{O}_x)$ para el subespacio de $X$ formado por los puntos de $y$ tal que $x \in \overline{\{y\}}$. Todo esto se puede encontrar en detalle en (EGA, I, 2.4).

Deje $Z = \displaystyle\sum_{x \in X^{(1)}} n_x . \overline{\{x\}}$ ser un divisor de Weil en $X$ donde $X^{(1)}$ es el conjunto de 1-codimensional puntos de $X$. Para cualquier punto de $y \in Y$ uno define el divisor de Weil

$$ Z_y = \sum_{x \in X^{(1)} \cap T_y} n_x . (\overline{\{x\}} \cap T_y) $$

en $T_y = \mathrm{Spec}(\mathscr{O}_{X,y})$. $Z$ ser localmente principal es equivalente a $Z_y$ principal.

Yo recomendaría echar un vistazo a la exposición de EGA IV, que es muy detallado y mucho más fácil de seguir que Hartshorne, en mi opinión (al menos para los principiantes como nosotros). Este en particular es el teorema (EGA, IV_4, 21.6.9).