acciones de $\mathbb{Z}_2$ en las esferas

Question

Deje $S^m$ $m$- esfera y $$F(S^m,2)/\mathbb{Z}_2=\{(a,b)\mid a,b\in S^m, a\neq b\}/(a,b)\sim (b,a)$$ be the $2$-nd unordered configuration space on $S^m$. Why $F(S^m,2)/\mathbb{Z}_2$ is homotopy equivalent to $\mathbb{R}P^m$?

Tenga en cuenta que $F(S^m,2)/\mathbb{Z}_2$ es obtenido por la acción de la $\mathbb{Z}_2$ $F(S^m,2)$ por permuting coordenadas $(a,b)\to (b,a)$. Pero $\mathbb{R}P^m$ es obtenido por la acción de la $\mathbb{Z}_2$ $S^m$ por el antipodal mapa. A pesar de $F(S^m,2)\cong TS^m \simeq S^m$, las acciones de $\mathbb{Z}_2$ son diferentes.

Añadido Pregunta: Es $F(S^m,2)/\mathbb{Z}_2$ homeomórficos a $\mathbb{R}P^m\times \mathbb{R}^m$?

Answer 1

Observar que:

1. $F(S^m,2)/\mathbb{Z}_2$ es el espacio de todos los desordenada de los pares de puntos en $S^m$.

2. $\mathbb{R}P^m$ es el espacio de todos los pares no ordenados de antipodal puntos en $S^m$.

El primer espacio de deformación se retrae sobre el segundo. Específicamente, dada una desordenada par $\{a,b\}$ de los puntos en $S^m$ que no son antipodal, vamos a $C$ ser el gran círculo con ellos. Entonces podemos pasar a $a$ $b$ directamente de distancia el uno del otro a lo largo de $C$ hasta que se antipodal, que define la necesaria deformación de retracción.

Answer 2

Definir $i:S^m\to F(S^m,2)$$i(a)=(a,-a)$. Este mapa es equivariant con respecto a la $\mathbb{Z}_2$-acciones en ambos lados, y afirmo que en realidad se da cuenta de $S^m$ $\mathbb{Z}_2$- equivariant deformación se retracte de $F(S^m,2)$. De hecho, dado un punto de $(a,b)\in F(S^m,2)$, nos puede moverse $a$ $b$ en direcciones opuestas el uno del otro a lo largo del gran círculo de unirse a ellos hasta que se antipodal, y cada etapa de este homotopy es $\mathbb{Z}_2$-equivariant.

Una descripción alternativa de la inducida por la deformación de retracción en los coeficientes es la siguiente. Creo que de $\mathbb{R}P^m$ como el conjunto de líneas a través de las $0$$\mathbb{R}^{m+1}$, y creo que de $F(S^m,2)/\mathbb{Z}_2$ como el conjunto de líneas en $\mathbb{R}^{m+1}$ que se cruzan $S^m$ a los dos puntos. Dada esa línea, tomar el punto medio de sus dos intersecciones con $S^m$, y traducir su línea continua de manera que el punto medio se mueve en una línea recta al origen.