Mostrar que el producto de dos números irracionales puede ser irracional. Puedes usar cualquier dato que conozcas sobre los números reales.
Todo lo que sabemos es que $ \sqrt {2}$ es irracional y eso $ \sqrt {2} \cdot \sqrt {2} = 2$ pero esto es un racional producto de números irracionales.
Bueno, si todo lo que sabes es que $\sqrt{2}$ es irracional, prueba el par de $\sqrt{2}$ y $\sqrt{2}+1$ - ambos son claramente irracionales, y su producto es $2+\sqrt{2}$ que también es claramente irracional. Entonces no tenemos que saber nada más que eso $\sqrt{2}$ es irracional y un irracional más un racional sigue siendo irracional.
@user2357112 tomar cualquier número real positivo $x$ . Entonces $(x, y) = (x, \frac{\sqrt{2}}{x})$ es un punto de la hipérbola como $x\frac{\sqrt{2}}{x} = \sqrt{2}$ . Dado que hay un número incontable de valores posibles de $x$ y cada uno lleva a un único punto, debe haber incontables puntos.
-1 porque obviamente no puedes asumirlo. Si sabemos que los reales son incontables, también podemos usar el hecho de que la multiplicación por números no nulos (como la raíz 2) es inyectiva y por lo tanto no puede caer en los racionales todo el tiempo, ya que estoy seguro de que demostrar que son contables era más fácil que demostrar que los reales son incontables. ¡Voilà!
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math.stackexchange.com/questions/977493/
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Véase también: math.stackexchange.com/questions/504434/
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Inténtalo $\sqrt{2}(1+\sqrt{2})$