Encontrar la solución en los naturales a $a^b=b^a$ con la ayuda de $f(x)=\frac{\ln(x)}{x}$

Question

Como el título dice,

Estoy tratando de encontrar la solución en los números naturales a $a^b=b^a$ con la ayuda de la función

$f(x)=\large\frac{\ln(x)}{x}$.

He estado leyendo algunas de las soluciones de ese problema publicado en matemáticas foros, y todavía no sé cómo deducir, las soluciones obvias, $(2,4)$ $(4,2).$

Muchas gracias!

Answer 1

Sabiendo que cuando se $x > 0,\;\; x^y = e^{\large \ln x^y}= e^{y \ln x}$,

tenemos, desde $a, b \in \mathbb{N}:$ $$a^b = b^a \iff e^{b\ln a} = e^{a \ln b} \iff b \ln a = a\ln b$$

Ahora trate de dividir a cada lado de la ecuación por $\;ab$.

Answer 2

El ingrediente que falta en las respuestas hasta el momento es esta interpretación: con cuidado fraw la curva de $y = \log x.$ Su $f(a)$ es la pendiente de la línea entre el país de origen $(0,0)$ y el punto en la gráfica de $(a, \log a).$, Entonces, si $f(a) = f(b)$ para cualquiera de los números reales $a,b,$ esto significa que las pendientes son iguales, por lo tanto, no es una línea recta pasando por los puntos de $(0,0),(a, \log a),(b, \log b). $

Si se mira un poco más detenidamente, vemos que la línea que pasa por el origen con pendiente $1/e$ es tangente a la curva en el $(e,1),$ que utiliza el cálculo. La pendiente (positiva) de cualquier línea que interseca la curva dos veces es $0 < m < 1/e. $ por último, dado que las dos intersecciones $(a, \log a),(b, \log b) $ $a < b,$ nos encontramos con que $$ 1 < a < e. $$ Since you wanted $un$ to be an integer, it follows that $=2.$

Por favor, dibuje la gráfica y algunas líneas a través del origen. Se hace muy fácil de ver, con una cuidadosa gráfico, que el más pequeño (número real $a$) satisface $1 < a < e.$ me acabó de energía. En la imagen de abajo, la gráfica en color negro es $y = \log x,$ la línea verde es la tangente a la gráfica que pasa por el origen y el punto de $(e,1),$ y la línea azul pasa por el origen y $(2, \log 2)$ $(4,\log 4).$ Si te pones a pensar, $\log 4$ es exactamente el doble de $\log 2,$, por lo que estamos viendo en algunos de los triángulos semejantes. No recuerdo si hay otras soluciones racionales a este.

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Answer 3

Tenga en cuenta que $$ f'(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\log(x)}{x}=\frac{1-\log(x)}{x^2}\etiqueta{1} $$ Supongamos que $a\lt b$$a^b=b^a$. Tomando $\log$ y dividiendo por $ab$ rendimientos $$ \frac{\log(a)}{a}=\frac{\log(b)}{b}\etiqueta{2} $$ $(1)$, $(2)$, y el Teorema de Rolle decir que debe haber un $x$$a$$b$, de modo que $$ f'(x)=\frac{1-\log(x)}{x^2}=0\etiqueta{3} $$ $(3)$ se satisface si y sólo si $x=e$. Por lo tanto, si $a\lt b$, luego $$ a^b=b^a\Rightarrow\lt e\lt b\etiqueta{4} $$ Por lo tanto, hay dos opciones para $a\in\mathbb{Z}$, $1$ y $2$. Desde $1^b=b^1\Rightarrow b=1$, la única solución de con $a<b$ han $a=2$. Desde $$ \frac{\log(2)}{2}=\frac{2\log(2)}{2\cdot2}=\frac{\log(4)}{4}\etiqueta{5} $$ debemos tener $b=4$. Cualquier otra solución, $x$ $\frac{\log(2)}{2}=\frac{\log(4)}{4}=\frac{\log(x)}{x}$ han$e$$2$$x$$e$$x$$4$. Ambas no pueden ser verdaderas simultáneamente para cualquier $x$.

La única solución es, por tanto, $$ 2^4=4^2\etiqueta{6} $$