¿La $p$ -¿la torsión de una curva elíptica con buena reducción sobre un campo local determina siempre si la reducción es ordinaria o supersingular?

Question

Sea $K$ sea una extensión finita de $\mathbb{Q}_p$ y $E/K$ una curva elíptica con buena reducción. ¿La $\mathbb{F}_p[\mathrm{Gal}(\overline{K})]$ -módulo $E[p](\overline{K})$ determinar si la reducción es ordinaria o supersingular? Supongo que esto es así cuando $K=\mathbb{Q}_p$ porque en el caso ordinario la representación es reducible, mientras que en el caso supersingular, la representación es irreducible.

En general sé que la representación es reducible en el caso ordinario porque tiene un $1$ -cociente unramificado. Pero no estoy seguro de si la representación es o no irreducible en el caso supersingular para arbitraria $K$ .

La razón por la que hago esta pregunta es porque me preguntaba si dos curvas sobre un campo numérico con buena reducción por encima de $p$ que tienen isomorfos $p$ -tienen necesariamente el mismo tipo de reducción en los primos superiores a $p$ (ordinario o supersingular, claro).

Answer 1

Este no puede ser el caso para todos $p$ - campos radicales. En efecto, comienza con $E_1{/\mathbb{Q}_p}$ una curva elíptica con buena reducción ordinaria y $E_2{/\mathbb{Q}_p}$ una curva elíptica con buena reducción supersingular.
Sea $K = \mathbb{Q}_p(E_1[p](\overline{K}), E_2[p](\overline{K}))$ . A continuación, tras la ampliación de la base a $K$ , ambos $E_1[p]$ y $E_2[p]$ tienen el mismo $\mathbb{F}_p[\operatorname{Gal}_K]$ -es decir, ambos son isomorfos como grupos abelianos a $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^2$ y ambos tienen acción de Galois trivial. (Además, la dicotomía ordinario/supersingular no cambia con la extensión de la base: esto depende sólo de la $j$ -invariante de $E$ modulo $p$ .)

Sin embargo, hay algo que decir en sentido positivo a partir de las restricciones a la torsión en el grupo formal de $E_{/K}$ en función del índice de ramificación $e(K/\mathbb{Q}_p)$ . Avísame si quieres más detalles al respecto...