Secuencia de Cauchy de la propiedad

Question

No veo cómo esto es aún válida. Podría alguien informar de ello a mí:

Suponga que $x_n$ es una secuencia de cauchy de números racionales satisfacer $|x_n| \geq r$ todos los $n\in\mathbb{N}$. Demostrar que no es $N\in\mathbb{N}$ s.t. cualquiera de las $x_n > r$ todos los $n \geq N$ o $x_n < -r$ todos los $n\geq N$.

Aquí está mi primer pensamiento. Si $x_n$ es una constante de la secuencia, a continuación, satisface las condiciones de la asunción. Así que, yo estaba pensando tal vez en que el hecho de que es de Cauchy debe garantizar que es lo que tengo que probar. Sin embargo, debe ser de Cauchy como $x_n-x_m=0$ todos los $n\in\mathbb{N}$. De modo que la definición: $\forall_{\epsilon>0} \exists_N \forall_{m,n}\implies |x_n - x_m| < \epsilon$ Mantiene.

Esto es contrario a lo que se supone que debo probar, ya que $x_n \not > r$ es igual a $r$ todos los $n\in\mathbb{N}$

1. Estoy con vistas a algo?

Gracias, todos los comentarios son bienvenidos y apreciados.

Answer 1

En primer lugar usted necesita para asumir ese $r$ es positivo y la condición debe ser $|x_n| > r$, no $\geq$. Entonces, como siempre lo ha $|x_n| > r$ cada plazo $x_n$ satisface cualquiera de las $x_n > r$ o $x_n < -r$. Lo que hay que mostrar es que después de un punto se deja de saltar hacia atrás y adelante y se asienta en siempre ser uno o el otro.

Comience su prueba diciendo que la sucesión es de Cauchy de modo que existe un $n$ tal que para todos los $n, m \geq N$ tenemos $|x_n - x_m| < r$, en particular,$|x_N - x_m| < r$. Ahora tenga en cuenta que para $x_m$ a voltear para el otro lado debe haber una distancia de, al menos,$2r$$x_N$.

Answer 2

Su objeción es correcta si usted califica de "constante en $r$" (si es constante en cualquier otro valor, se tiene vacuously). Sin embargo, escribo esto como la parte 1 de su respuesta; luego mostrar en la parte 2 que es cierto si $x_n \neq r \,$ eventualmente.