Es el finito suma de los factoriales constante modulo de la suma límite?

Question

La respuesta a la siguiente pregunta sería dar una alternativa de solución a un viejo olimpiada pregunta de si es cierto.

Demostrar que no existe ninguna (constante) integer $c$ tal que

$$1!+2!+\dots + q! \equiv c \bmod q \text{ for all $q \in \mathbb N^\ast$.}$$

Answer 1

He encontrado esta pregunta muy interesante, ya que es fácil demostrar que $c$ no es constante, por ejemplo significados, sin embargo, la parte relevante es dar la prueba matemáticamente, que creo que he encontrado.

Suponemos que para $q=k$ ; $q=k+1$ y que $c$ es constante, por lo que las siguientes relaciones debe contener:

$0 \equiv \sum_{i=1}^{k}i! - c \pmod k$

$0 \equiv \sum_{i=1}^{k+1}i! - c \pmod{k+1}$

Vamos a poner todos juntos:

$c=\sum_{i=1}^{k}i! -kp$

$0 \equiv \sum_{i=1}^{k+1}i! - \sum_{i=1}^{k}i! -kp \pmod{k+1}$

$0 \equiv (k+1)! + \sum_{i=1}^{k}i! - \sum_{i=1}^{k}i! -kp \pmod{k+1}$

$0 \equiv (k+1)! -kp \pmod{k+1}$

$p=\sum_{i=1}^{k}i! - c$

$0 \equiv (k+1)! -k(\frac{\sum_{i=1}^{k}i! - c}{k}) \pmod{k+1}$

$0 \equiv (k+1)! - \sum_{i=1}^{k}i! - c \pmod{k+1}$ ($*$)

Desde $\sum_{i=1}^{k}i! - c$ es múltiplo de $k$, para el segundo ($*$) para ser verdad tenemos que:

$GCD(k+1, \sum_{i=1}^{k}i! - c) \neq 1$

Tal vez suena un poco confuso en el primer tiempo, pero tiene sentido. Este intento nos acaba de decir para $c$ a ser constante la suma de los anteriores factoriales menos $c$ tiene que ser múltiplo de la corriente de módulo.

Por ejemplo, tomar k=5

$GCD(k+1, \sum_{i=1}^{k}i! - c) = GCD(6, 153 - 3) = GCD(6,150) = 6$ por lo tanto $k$ $k+1$ rendimiento de la misma $c$

pero para k=6

$GCD(k+1, \sum_{i=1}^{k}i! - c) = GCD(7, 873 - 3) = GCD(7,870) = 1$ $c$ $k$ $c$ $k+1$ rendimiento $3$ $5$ respectivamente.

Tome en cuenta que he puesto un poco de esfuerzo la elaboración de esta respuesta, tal vez existe otra prueba simple, pero yo menos puedo intentar arrojar un poco de luz a la cuestión.