Dado el polinomio $f(T) = (T^4-3)(T^6-3)$, me gustaría calcular el grupo de Galois de $f$. Lo que he hecho es la siguiente: configuración de $\alpha = 3^{1/4}$ y $\beta= 3^{1/6}$, $\zeta_k = e^{2\pi i / k}$, desde la descomposición de campo de $f$ $\mathbb Q$ $L := \mathbb Q(\alpha,...,\alpha \zeta_4^3,\beta,...,\beta\zeta_6^5) = \mathbb Q(\alpha,\beta,\zeta_4,\zeta_6) = \mathbb Q(3^{1/3},3^{1/4},i)$ desde $\zeta_6 = (1+i(3^{1/4})^2)/2$ $3^{1/6}=\frac{1}{3^4}(3^{1/3}(3^{1/4})^2)^5$ y luego: $$ \mathbb Q \subset \mathbb Q(3^{1/4}) \subset \mathbb Q(3^{1/4},3^{1/3})\subset \mathbb Q(3^{1/4},3^{1/3},i) = L $$ con $$ [L:\mathbb Q(3^{1/3},3^{1/4})] = 2,\quad [\mathbb Q(3^{1/3},3^{1/4}):\mathbb Q(3^{1/4})] = 3, \quad [\mathbb Q(3^{1/4}):\mathbb Q]=4. $$ El primero es claro para mí, desde el primer campo contiene los números complejos, el segundo es el más complicadas, y la última es causa de $\deg(T^4-3)$, que es el polinomio mínimo $\mathbb Q$. Por eso, $[L:\mathbb Q] = 24$. Pero no sé cómo calcular el grupo de Galois. Cualquier sugerencia? Gracias de antemano
Edit: voy a probar el siguiente. Si $\phi\in Gal(L:\mathbb Q)$, $\phi$ está totalmente determinado por $\phi(i)$, $\phi(3^{1/3})$ y $\phi(3^{1/4})$. Para la primera, $(\phi(i))^2=\phi(i^2) = \phi(-1) = -1$, lo $\phi(i) = \pm i$. Para el segundo, $3 = \phi((3^{1/3})^3) = \phi(3^{1/3})^3$ y, necesariamente, $\phi(3^{1/3}) = \zeta_3^{k} 3^{k/3}$ algunos $k \in \{0,...,2\}$. Esto le da a $Gal(L:\mathbb Q)\cong \mathbb Z_2\times \mathbb Z_4\times \mathbb Z_3$?
