Número esperado de llamadas para ganar bingo

Question

Antes de comenzar, me hice una búsqueda a través de las matemáticas.stackexchange y llegó a través de dos intentos anteriores para llegar a la gente para resolver probabilidad de problemas que involucran el bingo. No se produce una respuesta.

Así que lo que me hace pensar que voy a estar más suerte? Tal vez algún chico nuevo/gal tiene un poco de perspicacia.

El juego de bingo que se juega con una tarjeta de bingo tener 25 cuadrados, dispuestos en 5 columnas de 5 plazas. La primera columna contiene los números entre el 1 y el 15 de la 2ª columna tiene los números de entre 16 y 30 años, y así sucesivamente (la 5ª columna (!) tiene números entre 61-75). Alguien elige aleatoriamente un número del 1 al 75 y lo anuncia. Para hacer las cosas un poco interesante, el centro de la plaza es con la etiqueta "gratis". Si un número llamado coincide con uno en su tarjeta, usted marca. El objetivo es disponer de una completa fila, columna o diagonal de 5 marcó primero.

Aquí está mi pregunta: ¿cuál es el número esperado de sorteos cuando hay un ganador entre los $N$ jugadores? Yo estaba pensando acerca de esto porque me involucré en un juego de esta noche con mis hijos, y parecía tomar un intervalo de tiempo terriblemente largo para un ganador a la superficie.

Mis pensamientos: me parece que este ser extremadamente difícil problema. Me considero mejor que el promedio en el cómputo de los valores esperados, sin embargo, me encontré completamente atascado incluso en la manera de abordar el problema. Supongo que me podría haber buscado en la literatura, pero me imaginé que tenía que representar un decente pregunta aquí; se lo debo a los usuarios que se han planteado muchas preguntas interesantes aquí para mí, para responder.

Voy a buscar información que pueda llevar adelante el debate; no espero una respuesta completa para que usted publique.

Answer 1

Como demuestran algunas de mis respuestas anteriores, me gusta escribir rápido simulaciones numéricas, si parece factible. Bingo parece especialmente fácil (código Python a continuación).

No estoy seguro de si esto es cierto, pero creo que las tarjetas de Bingo son esencialmente independientes el uno del otro. Es decir, si podemos calcular la distribución de probabilidad de un solo jugador, $N=1$ juego de longitud, se puede utilizar para calcular las probabilidades conjunta para cualquier número de jugadores.

Lo que me pasa parece coincidir con tu experiencia en el juego, la media de juego de la longitud para un solo jugador se $42.4$ con una desviación estándar de $9.6$. Hay una ligera inclinación en el PDF hacia juegos más. El PDF completo se muestra a continuación:

from numpy import *
from collections import Counter

def new_board():
    cols = arange(1,76).reshape(5,15)
    return array([random.permutation(c)[:5] for c in cols])

def new_game():
    for token in random.permutation(arange(1,76)):
        yield token

def winning(B):
    if (B.sum(axis=0)==5).any(): return True
    if (B.sum(axis=1)==5).any(): return True
    if trace(B)==5 or trace(B.T)==5: return True
    return False

def game_length(board, game):
    B = zeros((5,5),dtype=bool)
    B[2,2] = True
    for n,idx in enumerate(game):
        if winning(B): return n
        B[board==idx] = True

def simulation(trials):
    C = Counter()
    b = new_board()
    for _ in xrange(trials):
        C[game_length(b, new_game())] += 1
    return C

repeats = 10**2
trials  = 10**3

from multiprocessing import *
P = Pool()
sol = sum(P.map(simulation,[trials,]*repeats))
P.close()
P.join()

X = array(sorted(sol.keys()))
Y = array([float(sol[x]) for x in X])
Y/= repeats*trials

EX = array(list(sol.elements()))
print "Mean and stddev", EX.mean(), EX.std()

import pylab as plt
plt.fill_between(X, Y, lw=2, alpha=.8)

plt.plot([EX.mean(),EX.mean()], [0,1.2*max(Y)], 'r--',lw=2)
plt.ylim(ymax = 1.2*max(Y))
plt.xlabel("Expected game length")

plt.show()