Hay sorprendentemente idéntico coeficientes binomiales?

Question

Supongamos $\binom{n}{k}=\binom{n'}{k'}$ con $k \geq 2$, $k' \geq 2$, $n \geq 2k$ y $n' \geq 2k'$. De lo anterior se sigue que el$n=n'$$k=k'$?

EDIT: Sí, $\binom{16}{2}=\binom{10}{3}=120$.

Ahora quiero preguntar si hay infinitamente muchos de esos pares, pero yo probablemente debería pedir que en una pregunta aparte. Gracias!

EDIT 2: para referencia en el futuro, sí hay infinitamente muchas de esas coincidencias. Ver Singmaster de la Conjetura.

Answer 1

$$ \binom{3003}{1} = \binom{78}{2} = \binom{15}{5} = \binom{14}{6}. $$

Nadie sabe si cualquier número, además de 3003 aparece en al menos ocho veces en el triángulo de Pascal.

Answer 2

Deje $f(t)$ el número de formas en que $t$ puede ser escrito como un coeficiente binomial. Entonces la pregunta puede ser reformulado de forma equivalente, como preguntando si $f(t) \leqslant 2$ todos los $t$. Como las otras respuestas señalan, existen numerosos contraejemplos a esta fuerte demanda.

Sin embargo, es probable que una forma más débil de esta declaración es verdadera. Singmaster la conjetura afirma que existe una $M \lt \infty$ tal que $f(t) \leqslant M$ todos los $t$. Este todavía está abierta. La mejor conocida límite superior, debido a la D. Kane, es $$f(t) = O \left(\frac{(\log t) \cdot (\log \log \log t) }{(\log \log t)^3} \right) .$$ On the other hand, it is consistent with our current knowledge that $f(t)$ never exceeds $8$.

Referencia: Este MO publicado por Michael Hardy le pregunta por el progreso reciente en este problema.

Answer 3

Hay uno o dos (no trivial) opciones de $(m,n)$ donde $\binom{n}{2} = \binom{m}{3}$. La comparación de las secuencias en OEIS puede ser más rápido que venir para arriba con las palabras correctas para encontrar en un motor de búsqueda.

Edit: 120 es en ambas secuencias, con $m=10$$n=16$. En OEIS la lista de números triangulares ( http://oeis.org/A000217 ) y números tetraédricos ( http://oeis.org/A000292 ) muestra que no existen otros pequeños ejemplos y estoy bastante seguro de que este par es conocido por ser el entero más grande de la solución de $3y(y-1)=x(x-1)(x-2)$, y que esto se demostró por primera vez en la primaria de manera que no hace uso de la teoría de curvas elípticas.

Answer 4

10-elegir-4 = 21-elegir-2.${}{}{}{}$

Answer 5

$$\binom{10}{3}=\binom{16}{2}.$$