Demostrar que entre las dos raíces de $f(x)$ hay una raíz de $g(x)$

Question

Deje $f(x),g(x)$ diferencial de funciones, y $f'(x)g(x)\neq f(x)g'(x)$ todos los $x\in\mathbb R$. Demostrar que entre las dos raíces de $f(x)$ hay una raíz de $g(x)$.

Supongo que esto tiene que ver con el teorema de Rolle. Vi que cuando $f'(x)=0$, $g(x)\neq0$ y cuando $f(x)=0$, $g'(x)\neq0$, pero no he podido probar la conjetura. Gracias por la ayuda!

Answer 1

Supongamos que $a,b$ son raíces de $f$$a<b$$g(x)\neq0$$x\in (a,b)$.
Considere la función $h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ $[a,b]$ a derivar una contradicción
(está bien definido, diferenciable en [a,b] con a $h(a)=h(b)$...).

Answer 2

Supongamos $f$ tiene dos consecutivos raíces $a$$b$, y por contradicción, supongamos $g$ no tiene raíces en $[a,b]$. Dividir ambos lados de la desigualdad por $f(x)$ $g(x)$ para obtener

$$F(x) := \frac{f'(x)}{f(x)} \neq \frac{g'(x)}{g(x)} =: G(x). \qquad x \in (a,b)$$

A continuación, $F(x)$ es continua en a $(a, b)$ y

$$\lim_{x \to a^+} F(x) = +\infty \\ \lim_{x \to b^-} F(x) = -\infty$$

Desde $G$ no divergen cerca de $a$ o $b$, esto implica que

$$\lim_{x \to a^+} [F(x) - G(x)] = +\infty \\ \lim_{x \to b^-} [F(x) - G(x)] = -\infty$$

Así que la función $F - G$ es continua en a $(a,b)$, y pasa de $+\infty$$-\infty$. Por el valor medio teorema, $F - G$ tiene una raíz en $(a,b)$, decir $c$. Pero esto implica que $F(c) = G(c)$, lo que contradice nuestra desigualdad. Por lo $g$ debe tener una raíz en $[a,b]$.